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Construction du nombre à la maternelle
doc IEN Chambéry 1
N.Demangeat, S.Lassus, V.Terpan, C.Lassus
12/2011

* Résumé : Les documents d'une animation pédagogique proposée en 2011-2012 dans la circonscription de Chambéry 1 : comment, à la maternelle, donner du sens à la notion de nombre à travers la mise en oeuvre de situations de recherche concrètes

* Ce document est également indexé dans le(s) thème(s) suivant(s) :
Mathématiques > Nombres et calculs - Approcher les quantités et les nombres



le document

 


1) Introduction
On constate une pratique dans l’ensemble des classes de l’école primaire et plus particulièrement en maternelle, pratique qui consiste à enseigner les notions mathématiques en utilisant le travail sur fiches puis sur fichier qui correspond à un niveau d’abstraction inaccessible aux jeunes élèves.
Les programmes de l’élémentaire sont centrés, dans tous les domaines mathématiques sur la résolution de problèmes et demande en amont, une préparation des élèves au questionnement et à la pensée logique dès le plus jeune âge. Or cet aspect mérite d’être développé en maternelle. Il est important dès le plus jeune âge de confronter les élèves à des situations de recherches concrètes s’appuyant sur leur vécu : il faut donner du sens au nombre à travers la mise en oeuvre d’ activités fonctionnelles ; c'est-à-dire des activités durant lesquelles les élèves vont pouvoir prendre conscience des possibilités que nous donnent la connaissance du nombre en s’appuyant sur toutes les utilisations du nombre au quotidien.


2) Analyse des résultats des évaluations nationales CE1
Rapide synthèse des constatations sur l’analyse des évaluations : trop de facteurs entrent en jeu pour en tirer des conclusions parfaitement claires et exploitables (élèves mis en difficultés par le support de l’évaluation, variation du nombre de réponses attendues dans l’exercice...)
Il apparaît que les élèves maîtrisent les outils, mais ne savent pas les utiliser en situation. Par exemple ; ils peuvent connaître les techniques opératoires mais ne savent pas les utiliser dans la résolution de problèmes. Comme en français : ils peuvent savoir conjuguer les verbes à tous les temps, mais continuent à faire de grosses fautes de conjugaison en production d’écrit = problème de sens.


3) Les programmes
L’école maternelle constitue une période décisive dans l’acquisition de la suite des nombres (chaîne numérique) et de son utilisation dans les procédures de quantification.

Les élèves :
- Découvrent et comprennent les fonctions du nombre, en particulier comme représentation de la quantité et moyen de repérer des positions dans une liste ordonnée d’objets. - Les situations proposées aux plus jeunes enfants (distributions, comparaisons, appariements...) les conduisent à dépasser une approche perceptive globale des collections. L’accompagnement qu’assure l’enseignant en questionnant (comment, pourquoi, etc.) et en commentant ce qui est réalisé avec des mots justes, dont les mots-nombres, aide à la prise de conscience.
- Acquièrent la suite des nombres au moins jusqu’à 30 et apprennent à l’utiliser pour dénombrer. Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage. La taille des collections (ne pas hésiter à travailler sur de grandes collections), le fait de pouvoir agir ou non sur les objets sont des variables importantes que l’enseignant utilise pour adapter les situations aux capacités de chacun.

- À la fin de l’école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l’univers du calcul
mais c’est le cours préparatoire qui installera le symbolisme (signes des opérations, signe “égal”) et les techniques.

- La suite écrite des nombres est introduite dans des situations concrètes (avec le calendrier par exemple) ou des jeux (déplacements sur une piste portant des indications chiffrées). Les enfants établissent une première correspondance entre la désignation orale et l’écriture chiffrée ; leurs performances restent variables mais il importe que chacun ait commencé cet apprentissage.

- L’apprentissage du tracé des chiffres se fait avec la même rigueur que celui des lettres.

Conclusion :
* comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités.
* mémoriser la suite des nombres au moins jusqu’à 30.
* dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus.
* associer le nom de nombres connus avec leur écriture chiffrée.


4) Définition du mot « nombre »
4.a) Quelques définitions du dictionnaire
« Un nombre est un concept permettant d’évaluer et de comparer des quantités ou des rapports de grandeurs, mais aussi d’ordonner des éléments par une numérotation. Souvent écrits à l’aide d’un ou plusieurs chiffres, les nombres interagissent par le biais d’opérations qui sont résumées par des règles de calcul. Les propriétés de ces relations entre les nombres sont l’objet d’étude de l’arithmétique, qui se prolonge avec la théorie des nombres. » (source Wikipedia)
« Notion qui permet de compter, de dénombrer les choses ou les êtres, de classer les objets, de mesurer les grandeurs : Apprendre la suite des nombres. » (source : encyclopédie Larousse)

4.b) Cadre théorique du nombre
La construction du nombre s’appuie sur des savoirs pré- numériques et logiques qui ne font pas toujours l’objet d’un enseignement spécifique (âge) Attention à ce qui peut nous paraître évident : par exemple, s’assure-t-on toujours que tous les élèves savent ce qu’est « 1 » ?

Identification des savoirs
Présentation
Le concept de nombre (aspect cardinal) s’appuie sur le concept de collection ( I ), nombre mémoire d’une quantité d’objets d’une collection, et sur le concept de désignation ( II ) d’une quantité.
Par ailleurs, le dénombrement d’une collection fait intervenir le comptage des objets de la collection qui fait appel à une connaissance spécifique : l’énumération ( III ).
Enfin, ces connaissances font intervenir, de différentes manières, la notion d’ordre ( IV ) ; dans une collection, l’ordre n’intervient pas alors que l’énumération fait appel à un ordre.
Il a été nécessaire de définir ces savoirs puisqu’ils sont choisis comme objets de travail.

I- La collection
Une collection est un regroupement d’objets provoqué par un critère de fonctionnalité, un critère défini par un caractère commun, un critère généré par une circonstance (situations vraies = anniversaire : compter les bougies).
Concevoir une collection, c’est accepter de voir un rassemblement d’objets comme un tout ( un seul objet) .
Une collection est invariante quel que soit l’ordre (la position) des objets (on ne tient pas compte de l’ordre).
Le concept de collection est un concept préalable (constitutif) du concept de nombre comme mémoire d’une quantité. La collection n’est pas quelque chose de donné ou d’inné, c’est quelque chose qui se construit. On compte pour.

II- La désignation
La désignation est une connaissance que l’on met en oeuvre lorsqu’on veut remplacer un objet ou une collection d’objets par un symbole pour conserver une mémoire de cet objet : la désignation doit permettre de conserver une connaissance de l’objet.
Ex : le dessin d’un objet est une désignation de l’objet de cette classe.
Une liste formée d’une suite de symboles représentant des objets est le mode le plus simple de désignation d’une collection d’objets.

III- L’énumération
Le comptage (qui entre dans le dénombrement) exige l’exploration exhaustive d’une collection en passant en revue tous les objets de la collection et chacun d’eux une seule fois.
Cette connaissance relative à la collection est appelée : l’énumération.
Rappel : il est important surtout en GS de manipuler des collections jusqu’à 30.

IV- L’ordre
L’ordre intervient lorsqu’on se donne des informations qui permettent de repérer la position des objets d’une collection organisée selon une direction donnée et pour laquelle a été défini un sens
Pour une direction donnée, le sens peut-être défini par :
* un aspect physique : un mouvement réel ou virtuel, le temps (la chronologie)
* un aspect arbitraire : on décide d’un début et d’une fin. (jeux de déplacement)

Petit rappel pour l’élaboration d’une situation d’apprentissage
1. Identifier un obstacle
Un savoir nouveau.
Une conception (connaissance mal faite ou incomplète) que l’on veut remettre en cause.
Choix d’une situation problème pour une nouvelle compétence ou mise en place d’une remédiation,
2. Constituer un milieu
Milieu matériel (matériaux supports de travail, outils utiles)
Tâche qui confronte à un problème (consigne)
Ce milieu doit mettre l’enfant en action (utilisation de ces connaissances) et doit lui permettre une validation de ses choix et de ses décisions (rétroactions).
Le milieu est entièrement organisé par l’enseignant pour que l’enfant y rencontre le savoir visé comme réponse à un problème.
3. Assurer la dévolution du problème (ZPD)
Prise en charge de la situation par l’enfant.
4. Construire une situation problème.

Mettre sur pied un scénario
- Phase d’entrée dans le problème: l’enfant doit réussir la tâche avec les connaissances qu’il a.
- Phase de recherche (action) : l’enfant est placé devant la même tâche qui maintenant, par un jeu sur des variables, pose problème (obstacle). Il faut en fixer les modalités, la durée, les aides éventuelles.
- Phase de mise en commun : examen des productions / validation / formulation des stratégies utilisées / repérage et formulation des raisons de non réussite
- Nouvelle phase d’action : prise en compte des éléments dégagés et nouvelle tentative.
- Phase d’institutionnalisation : mise en évidence du savoir nouveau (formulation).


5) Propositions d’une démarche et d’activités pour construire le nombre.
Extraits de « Vers les maths », Rémi Brissiaud, chez Retz

Notre projet est de présenter une démarche et des activités pour réussir une première rencontre avec les nombres en maternelle.
Il est nécessaire d’instaurer un dialogue avec l’enfant pour qu’il prenne conscience que c’est l’ajout d’unités qui est important.

On commence par dire à l’enfant (dialogues fondamentaux)

      * « Donne moi 2 jetons, un et encore un »
- en montrant 2 doigts », lui faire comprendre que c’est ici, l’ajout d’unité qui est important.
- il faut penser à changer de configuration, ne pas montrer toujours les mêmes doigts pour que l’enfant n’attribue pas toujours le même nom au même doigt.
- il faut aussi penser à dénombrer des objets féminins, pour expliquer que le genre de change pas le nombre d’unités.
- ne pas oublier la mise en relation avec le schéma corporel (nous avons 1 nez, 1 bouche, 2 oreilles, 2 bras etc...) (p.59)
- introduire des variables dans la consigne, ex : « donne moi comme ça de jetons : 1 et encore 1 , c’est combien comme ça ? » en montrant avec les doigts, cela incite à apprendre le nom des nombres.

      * Comprendre les décompositions de 3
- on part sur le même principe, on dit « tu te rappelles, 2 c’est comme ça », en montrant l’index et le majeur et ensuite on dit, « moi, je t’ai demandé comme ça » en levant 1 doigt de plus (au début l’annulaire par exemple)
- Il faut penser à changer de configuration, ne pas montrer toujours les mêmes doigts pour que l’enfant n’attribue pas toujours le même nom au même doigt.

      * « Donne-moi comme ça de jetons » en montrant les constellations du dé.
- la constellation devient la collection témoin. Comme dans le cas des doigts, l’adulte ne récite pas la comptine numérique en pointant du doigt, il ne compte pas, il ajoute des unités. « la face 2 s’appelle ainsi parce qu’il y a 1 point et encore 1 », « « la face 3 s’appelle ainsi parce qu’il y a 1 point, 1 point et encore 1 » ou « 2 (en désignant les 2 extrêmes) et encore 1 (en montrant celui du milieu) : décomposition à 3.
- Ne pas proposer de déplacements style « jeux de l’oie » car il n’y a pas de lien entre le déplacement du jeton et le cumul des cases parcourues par le jeton. (p .60)

      * « Tu me montres avec les doigts combien il y a de... »
- l’adulte construit une collection (de jetons ou autres) et c’est l’enfant qui montre avec ses doigts le nombre correspondant, et si possible, dire le nom du nombre en produisant la phrase « il y a « N » objets. Lui demander de montrer de plusieurs façons en utilisant plusieurs configurations de doigts.

      * « où y a-t-il 3 ? » « et 2 ? » « et 1 ? »
- montrer des objets en les nommant. Ces objets sont sous forme d’ensembles : un ensemble de 1 unité, un ensemble de 2 unités, un ensemble de 3 unités. L’adulte demande en montrant 3 doigts « où y a-t-il 3 comme ça ? » lorsque les enfants ont répondu, on montre énumère chaque objet sous la forme 1 là, 1 là et encore 1 là, ensuite l’adulte redit 1, 1 et encore 1 : ça fait 3 . On recommence l’opération pour les deux autres ensembles (celui e 2 et celui de 1) . (p.62 -63)

 

Au-delà de 3, comparer mais sans compter (p.64 -65)

      * Beaucoup ? pas beaucoup ?
- Si la comparaison est évidente ((2 et 8 par ex) pas besoin de collection témoin, on demande juste où il y en a le plus ou le moins.
- Si la comparaison n’est pas évidente (6 et 7), l’adulte construit une collection de doigts (ex des chats p.64 ) que les élèves doivent retenir ou qui est affichée au tableau sous la forme d’un référent (dessin ou photo de doigts).
- La comparaison va être favorisée par le «subitizing » (reconnaissance immédiate) du 5, qui , étant commun aux 2 nombres permet de ne faire la comparaison que sur la 2ème main, et donc sur de petits nombres.

      * Comprendre comment se forment les nombres avant de connaître leur nom...
- chaque nombre se forme au moyen d’une unité supplémentaire par rapport au précédent.
- Les enfants apprendront les noms des nombres au-delà de 6 plus tard, au fur et à mesure qu’ils seront appelés à les utiliser, c’est pourquoi l’enseignant est amené à dire lui-même le nom des nombres en utilisant la décomposition correspondante : 6, c’est 5 et encore 1 (en partant de 5)

 

L’enseignement du comptage d’objets en moyenne section (p.67)

      * Comment enseigner le comptage ?
- comprendre qu’on passe d’un nombre à l’autre en ajoutant une unité et non un numéro (comptage ≠ numérotage).
- dans un premier temps, déplacer chaque objet quand on le nomme en le comptant, pour visualiser l’ajout d’unité. Lorsque les objets ne sont pas déplaçables, mettre un cache et le découvrir un par un ; (p.68)

      * Quand et à quel rythme enseigner le comptage ?
- quand ils ont compris le système des 3 premiers nombres et dire les nombres jusqu’à 3 sans compter (subitizing).
- en cas d’échec, reprendre comme avec les P.S.
- aller tout doucement : laisser à l’enfant le temps de comprendre la décomposition des nombres 4 et 5 avant d’apprendre à compter plus loin. Et ensuite on peut aller plus vite quand on voit qu’il a compris l’ajout d’unité.

 

En moyenne et en grande sections : comparer à l’aide du comptage. (p.71)

      * Comprendre que ce qui est important c’est jusqu’où va le comptage (exemple des bouteilles p.71)
- Comparer sur fiches 2 collections non déplaçables, dessinées .Dans un premier temps, effectuer une correspondance terme à terme au feutre dire où il y en a le plus.
- Dans un second temps, on prend les dessins, sur lesquels les tracés sont déjà effectués et réussis par les élèves. L’enseignant les cache, puis les compte, l’enfant doit trouver où il y en a le plus.(p .72). Il doit anticiper le résultat de la correspondance terme à terme. Puis, on vérifie en voyant la correspondance terme à terme dessinée. A ce moment là, l’enseignant décompose : 5 poussins, c’est 3 poussins comme les poules et et encore 2 poussins tout seuls. Les enfants comprennent « 3 poussins comme les poules » grâce au « subitizing » et parce que chaque poule est reliée à un poussin.
- Lorsqu’on demande aux enfants d’anticiper la différence, on facilite la tâche en demandant « où il y en a le plus ? » et ensuite combien y a-t-il de poussins tout seuls (faire anticiper le reste)

 

Favoriser les décompositions (p.76- 77)

      * Vous aurez donc compris qu’il faut éviter les comptines qui visent à enseigner la suite numérique verbale, invitant les enfants à compter sur leurs doigts en les numérotant. Ex de la comptine p.77 (les petits lapins)

 


6) Recenser les activités conduites en classe
Des activités conduites en classe, caractéristiques de la construction du nombre à la maternelle.

 


7) Propositions d’activités
PS/MS

MS/GS

Bibliographie et supports pédagogiques

 


8) Conclusion
La construction du nombre se fait selon deux dimensions :
* La dimension ordinale
* La dimension cardinale
Elle s’appuie sur des situations variées de manipulation, de langage et d’écriture. La construction de l’abstraction est très progressive.

 

Compléments

Des difficultés spécifiques auxquelles certains élèves se trouvent confrontés :
* Troubles profonds de la numération
* Dyscalculie : le sens perdu des nombres

 


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