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Terminale L (spécialité) - DS 3 - vendredi 18 mai 2007 - 2 heures
Calculatrice autorisée - Les exercices sont indépendants
Exercice 1 (3 points)
Voir l'image en annexe.
Sur ce tableau sont représentées en respectant les règles de la perspective centrale quatre colonnes verticales de même hauteur.
On suppose que l'oeil de l'observateur est à 1,7 mètres au-dessus du sol et que les bases des colonnes sont les sommets d'un carré dont deux côtés sont parallèles au plan du tableau.
1. Construisez le point de fuite principal F , la ligne d'horizon d et l'un des points de distance D.
2. Expliquez comment, en utilisant les éléments précédents, on peut estimer la hauteur des colonnes, la distance qui les sépare et la distance entre l'observateur et le plan du tableau.
Exercice n°2 (6 points)

ABCDEFGH est un cube. Il est représenté ci-contre en respectant les règles de la perspective cavalière.
I, J, K et L sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA].
IJKLI'J'K'L' est un cube.

En annexe, on cherche à représenter ces deux cubes en respectant les règles de la perspective centrale.
La face ABCD est horizontale et la face ABFE est frontale.
On utilise la lettre minuscule correspondante pour désigner le représentant d'un point.
On a fait figurer les points a, b et d ainsi que la ligne d'horizon.
Vous laisserez apparents les traits de construction.

1. Complétez la représentation du cube ABCDEFGH.
2. Construisez les représentants des points I, J, K et L. Vous justifierez la construction des points i et l.
3.
a) Justifiez que II'=0.5BE.
b) Achevez alors la construction du cube IJKLI'J'K'L'.
Exercice n°3 (6 points)
La fonction f est définie dans R+* par . Sa courbe F est représentée en annexe.
1. Justifiez que la dérivée f' de f est définie par .
2.
a) Déterminez le signe de f'(x) et déduisez-en le tableau de variations de f.
b) Calculez f(0,5) et f(10). En utilisant ces résultats et le tableau de variation, déduisez-en le nombre de solutions de l'équation f(x)=0.
c) A l'aide de la calculatrice déterminez les solutions de l'équation f(x)=0. Vous donnerez une valeur exacte ou une valeur approchée à 10-3 près.
3. Construisez, en détaillant votre méthode, la tangente T à F en son point d'abscisse 1.
4. Existe-t-il des nombres x tels que f(x)>2, f(x)>10, f(x)>10000 ?
Exercice n°4 (5 points)

Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules vertes.
Une urne B contient 1 boule rouge et 4 boules vertes.
Un jeu se déroule de la façon suivante :
On jette un dé cubique équilibré, si on obtient un six, alors on tire une boule de l'urne A, sinon, on tire une boule de l'urne B.

1. Dessinez un arbre de probabilité analysant le jeu décrit ci-dessus.
2. On note R l'événement « tirer une boule rouge » et S l'événement « obtenir un six ».
a) Calculez la probabilité de tirer une boule rouge.
b) On a tiré une boule rouge, quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'urne B ?
3. On joue trois fois à ce jeu (en remettant à chaque fois la boule tirée).
Quelle est la probabilité de tirer trois boules rouges ?

 

Exercice n°1
Exercice n°2
Exercice n°3