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Terminale L (spécialité) - Bac Blanc - - 3 heures
Calculatrice autorisée - Le barème est donné à titre indicatif
Exercice n°1 (6 points)
On s'intéresse, dans cet exercice, à la divisibilité par 2, 3 et 5 de où n est un entier naturel.
1. Précisez, parmi les propriétés suivantes, celles qui sont vraies et celles qui sont fausses en justifiant votre réponse.
· Propriété n°1
 Pour tout entier naturel n , n(n+1) est divisible par 2.
· Propriété n°2
 Pour tout entier naturel n , est divisible par 2.
· Propriété n°3
 Il existe un entier naturel n tel que est divisible par 5.
· Propriété n°4
 Pour tout entier naturel non nul n , si n est divisible par 3, alors est divisible par 5.
· Propriété n°5
 Pour tout entier naturel non nul n , si est divisible par 5, alors n est divisible par 3.
2. On s'intéresse, dans cette question à l'ensemble des entiers naturels n tels que est divisible par 5.
a) En utilisant votre calculatrice et en détaillant votre démarche, déterminez l'ensemble des entiers naturels n inférieurs ou égaux à 20 tels que est divisible par 5.
b) Justifiez que tout entier naturel n est congru à l'un des entiers 0, 1, 2, 3 ou 4 modulo 5.
c) Justifiez que si n º 4 (mod 5), alors º 4 (mod 5). Etudiez de même les cas où n est congru à 0, 1, 2 ou 3 modulo 5.
Déduisez-en l'ensemble des entiers naturels n tels que est divisible par 5.
3. Justifiez que la propriété suivante est vraie :

Pour tout entier naturel n , n'est pas divisible par 3.
Exercice n°2 (9 points)
Dans cet exercice, les parties 1 et 2 sont indépendantes et certaines questions de la partie 3 utilisent des résultats des parties 1 et 2.
Partie 1 - Etude de quelques propriétés d'une fonction
On définit la fonction f dans R+* par . Sa courbe F est dessinée ci-dessous.
1. Donnez les valeurs approchées à près de f(x) pour x entier appartenant à [1;6].
2. Vérifiez que la dérivée de f est définie par . On rappelle que .
3. Résolvez l'inéquation 1-lnx>0. Déduisez-en le signe de f'(x) et les variations de f. Dressez son tableau de variations. Placez sur le graphique le point de F dont l'ordonnée est maximale.
4. Construisez la tangente à F en son point d'abscisse 1. Vous détaillerez votre démarche.
5.
a) Démontrez en utilisant les propriétés de la fonction ln que f(2)=f(4).
b) Déduisez-en, en utilisant les variations de f, que, pour tout entier n strictement supérieur à 4, f(n)<f(2).
Partie 2 - Etude de quelques propriétés de deux suites

On définit dans N les suites U et V par et .

1. Justifiez qu'une seule de ces suites est géométrique. Précisez sa raison et son premier terme.
2.
a) Justifiez que .
b) En utilisant les propriétés de la fonction logarithme décimal, donnez une autre écriture de . Déduisez-en une valeur approchée à près de .
c) Justifiez que £ x< Û £ logx< .
d) Déduisez de la question précédente que l'écriture de dans le système décimal comporte 31 chiffres.
Partie 2 - Comparaison de deux suites
1. En utilisant la table de valeurs de votre calculatrice, conjecturer la valeur de l'entier n à partir duquel . Vous détaillerez votre démarche.
2. Dans cette question, on cherche à justifier la conjecture précédente.
a) Démontrez que, pour tout entier naturel n, Û .
b) Utilisez alors les résultats de la question 3 de la partie 1 pour justifier la conjecture.
 
Exercice n°3 (5 points)
Dans un campus universitaire, à l'issue d'une compétition d'athlétisme, 1250 athlètes subissent un test antidopage.
Le test n'est pas fiable à 100%, certains athlètes pouvant être dopés et avoir un test négatif, d'autres pouvant ne pas avoir été dopés et avoir un test positif.
Le tableau ci-dessous donne la répartition des 1250 athlètes
 
Test négatif
Test positif
Athlète sain
1188
12
Athlète dopé
1
49
On choisit au hasard un athlète.
1. Déterminez la probabilité des événements suivants :
S : « l'athlète est sain », T : « le test est positif » et SÈT.

2. Complétez l'arbre de probabilités ci-contre.

3.
a. Quelle est la probabilité qu'un athlète sain ait un test positif ?
b. Quelle est la probabilité qu'un athlète soit sain et que le test soit positif ?
c. Les événements « le test est positif » et « l'athlète est sain » sont-ils incompatibles ? Sont-ils indépendants ?

4. On choisit un athlète parmi les 1250, on choisit de nouveau un athlète parmi les 1250.
Quelle est la probabilité que les deux soient dopés ?