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Première S - D M 8 - Surface réglée

ABCDEFGH est un cube.
On munit l'espace du repère orthonormal .
Les points M et N sont tels que et où a Î [0 ; 1].
Les points P et Q sont tels que et .
K est le milieu de [MN], I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [DH].
Vous ferez un dessin qui sera complété progressivement.
Partie n°1
On s'intéresse, dans cette partie, à la distance MN.
1. Construisez les points M, N et K pour a Î {0 ; 0,25;0,5;0,75,1}.
2.
a) Déterminez en fonction de a, les coordonnées respectives (xM;yM;zM) , (xN;yN;zN) et (xK;yK;zK) des points M, N et K.
b) Déduisez-en l'expression de MN en fonction de a .
3. On note respectivement f et g les fonctions qui à a associent MN et MN².
a) Justifiez que g'=2f´f'. Déduisez-en que f et g ont les mêmes variations.
b) Exprimez g(x) en fonction de x. Déterminez alors les variations de g, déduisez-en celles de f et dressez le tableau de variations de f.
4.
a) Pour quelle valeur de a, MN est-elle minimale ? Quelles sont alors les positions des points M et N ?
Partie n°2
On s'intéresse, dans cette partie, à l'ensemble D des points K quand a décrit [0 ; 1].
1. Démontrez que .
2. Déduisez-en l'ensemble D . Construisez-le.
Partie n°3
1. Déterminez en fonction de a, les coordonnées respectives (xP;yP;zP) et (xQ;yQ;zQ) des points P et Q.
2. Démontrez que, quel que soit a , les droites (MP) et (NQ) sont parallèles. Que peut-on en déduire quant aux points M, N, P et Q ?
3. Pour quelles valeurs de a, les droites (NP) et (MQ) sont-elles parallèles ?
4. Pour quelles valeurs de a, les droites (NM) et (PQ) sont-elles parallèles ?
5. Quelle est, selon les valeurs de a, la nature du quadrilatère MQNP ?