Première S

Première S - DS 3- jeudi 10 mai 2007 - 2 heures

Sujet 1 - Sujet 2
Calculatrice autorisée - Il sera tenu le plus grand compte de la précision de la rédaction

Exercice n°1 (3 pts)

Dans cet exercice, il s'agit de démontrer dans un cas particulier qu'une homothétie conserve le barycentre.
A, B, C et D sont quatre points de l'espace, h est l'homothétie de centre D et de rapport -2.
G est le centre de gravité de ABC, A', B', C' et G' sont les images de A, B, C et G par h.
1. Traduisez vectoriellement les données.
2. Déduisez-en que G' est le centre de gravité de A'B'C'.

Exercice n°2 (6 pts)

Pour chacune de ces quatre affirmations, indiquez si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix..

1.	ABCD est un tétraèdre. I, J, K et L sont les milieux respectifs de [AB], [CD], [BC] et [AD]. Les droites (IJ) et (KL) sont sécantes.	Vrai O	Faux O

2.	Le plan est muni d'un repère . A, B et C sont trois points de coordonnées respectives (1;2), (3;-1) et (0;1) Les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC sont .	Vrai O	Faux O

3.	A et B sont deux points du plan. La transformation géométrique qui à tout point M du plan associe le point M' tel que est une homothétie de rapport 3.	Vrai O	Faux O

4.	L'espace est muni d'un repère orthonormal . Le point A de coordonnées (1;1;-1) est à l'intérieur de la sphère de centre O et de rayon 1,5.	Vrai O	Faux O

5.	ABCD est un tétraèdre. Les vecteurs , et sont coplanaires.	Vrai O	Faux O

6.	Le plan est muni d'un repère . A est le point de coordonnées (1;2), h est l'homothétie de centre A et de rapport -3. M est un point du plan de coordonnées (x;y), M' est l'image de M par h, on note (x';y') ses coordonnées. Les expressions de x' et y' en fonction de x et de y sont x'=-3x+4 et y'=-3y+8.	Vrai O	Faux O

Exercice n°3 (5 pts)

A et B sont deux points du plan, G est le cercle de diamètre [AB].
C est un point de G , I le milieu de [AC], G le centre de gravité du triangle ABC et G' le symétrique de G par rapport à I.
On s'intéresse à l'ensemble E des points I et à l'ensemble F des points G' quand C décrit le cercle G.

A l'aide d'un logiciel de géométrie, on a fait apparaître les traces de I et de G' quand G décrit G.
Une copie d'écran figure ci-contre. On peut conjecturer que E et F sont des cercles.

Justifiez cette conjecture, vous préciserez les centres et les rayons des deux cercles obtenus.
Commencez par déterminez le lieu de I et utilisez ce résultat pour en déduire le lieu de G'.

Exercice n°4 (6 pts)

On lance 3 pièces équilibrées.
1. Quel est l'univers de cette expérience aléatoire ?
2. On note A l'événement " on a obtenu au moins 2 fois « face » " et B l'événement " on a obtenu au moins 1 fois « pile » ".
Déterminez les probabilités de A, B, AÈB et AÇB en justifiant soigneusement vos réponses.
2. On note X la variable aléatoire qui à chaque résultat associe le nombre de « pile » obtenu.
Déterminez la loi de probabilité de X et calculez son espérance.
3. On instaure la règle du jeu suivante :
Si on obtient moins de 2 « pile », on perd y euros, si on obtient 2 « pile », on gagne 1 euros et si on obtient 3 « pile »on gagne 5 euros.
Expliquez comment on peut calculer la valeur de y pour laquelle le jeu est équitable et déterminez cette valeur.
4. Cette fois, l'une des trois pièces est pipée de telle façon que la probabilité d'avoir « face » est le double de celle d'avoir « pile ».
Quelle est l'espérance de X ?