Première L option

Première L (option) - DS 3- samedi 20 mai 2006 - 2 heures

Correction

Calculatrice autorisée

Exercice n°1 (9 points)

Dans cet exercice, les questions sont, dans une très large mesure, indépendantes.

1.
a) Déterminez en utilisant l'algorithme d'Euclide le PGCD de 3740 et 1768.
b) Retrouvez ce résultat en décomposant les deux nombres en produit de facteurs premiers. Vous détaillerez votre démarche.

2. Une pièce rectangulaire a pour dimension 3740 par 1768 (l'unité est le centimètre). On cherche a carreler cette pièce sans découpe.à l'aide de carreaux tous identiques de forme carrée dont la longueur du côté est comprise entre 15 et 35.
Déterminer toutes les tailles possibles des carreaux.

3. 3740² est le carré d'un entier, c'est aussi un multiple de 3740.
Donnez deux autres entiers qui sont des carrés d'entiers et des multiples de 3740, l'un étant strictement supérieur à 3740², l'autre strictement inférieur à ce nombre.

4.
a) Expliquez comment on peut déduire de sa décomposition en produit de facteurs premiers que 1768 possède 16 diviseurs.
b) Trouvez un entier strictement inférieur à 1768 et qui possède 16 diviseurs.
c) Pour quelle valeur de l'entier p, 2^p possède-t-il 16 diviseurs ?
d) Pour quelles valeurs des entiers r et s, 2^r3^s possède-t-il 16 diviseurs ? Quel est le plus petit entier de la forme 2^r3^s qui possède 16 diviseurs ? Vous détaillerez votre démarche.

Dans le graphique ci-dessous, on a représenté les points dont l'abscisse est un entier naturel n et dont l'ordonnée est le nombre de diviseurs de l'entier n.
En vous aidant de ce graphique, déterminez le plus petit entier possédant 16 diviseurs.

Exercice n°2 (7 points)

N étant un entier naturel non nul, on lui associe le nombre P égal au produit de tous les entiers non nuls inférieurs ou égaux à N auquel on soustrait 1.
Par exemple, si N=6, alors P=6´5´4´3´2´1-1=719.

1. Complétez un tableau faisant apparaître les nombre P obtenus pour N égal à 1, 2, 3, 4, 5, 7 et 10.
2. Les nombres 119, 5039 et 3628799 sont-ils premiers ? Vous détaillerez votre démarche.
3. Faites fonctionner les algorithmes suivants pour N=4. Quel est celui qui renvoie le nombre P ?

· Algorithme n°1

Initialisation

Donner à A et I la valeur de N

Traîtement

Tant que I>2, répéter la procédure suivante

Donner à I la valeur I -1
Donner à A la valeur A´I

Donner à A la valeur A -1

Sortie

Afficher A

· Algorithme n°2

Initialisation

Donner à A et I la valeur de N

Traîtement

Tant que I>2, répéter la procédure suivante

Donner à A la valeur A´I
Donner à I la valeur I -1

Donner à A la valeur A -1

Sortie

Afficher A

4. Proposez un algorithme qui, quand on rentre un entier naturel non nul n, permet d'obtenir le nombre p égal à la somme des puissances de 2 de 2ⁿ jusqu'à 2⁰=1. Par exemple, si n=4, alors p=2⁴+2³+2²+2¹+2⁰=31
Exercice n°3 (4 points)

A chaque question est affecté 1 point. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte enlève 0.25 point. Vous pouvez décider de ne pas répondre à certaines questions, ces questions ne rapportent ni n'enlèvent aucun point. Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Vous devez cocher la case correspondante. Les questions sont indépendantes, aucune justification n'est demandée.

Question n°1.

La fonction dérivée de la fonction f définie par

est

Question n°2.

La fonction f est définie par

, sa dérivée est

. On note F sa courbe représentative
Le coefficient directeur de la tangente à F en son point d'ordonnée 0 est égale à

-3

Question n°3.

Une fonction f a pour dérivée

. Alors

f est croissante dans R

f est décroissante dans R^-

f est croissante dans R⁺

Question n°4.

La représentation graphique d'une fonction f est donnée ci-contre.
Le signe de sa dérivée est donnée par le tableau de signe