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Première L (option) - DM 7 - Autour des nombres premiers
Correction
Les exercices sont indépendants
Préambule
Le tableau ci-dessous fait apparaître les entiers naturel strictement inférieurs à 250. Indiquez les entiers premiers.
Ce tableau pourra être utilisé dans les trois exercices
Exercice 1
Le problème posé
32 n'est pas un nombre premier, mais il est possible d'obtenir un nombre premier en changeant un seul des chiffres de ce nombre : par exemple 31.
On s'intéresse à la propriété suivante :
Soit n un entier naturel non nul. n est premier ou il est possible d'obtenir un nombre premier en changeant un seul chiffre de n.
Quelques éléments de réponse
1. La propriété est-elle vraie pour n=41 ? Pour n=175 ? Pour n=91 ?
2. La propriété est-elle vraie pour tous les entiers compris entre 1 et 9 ?
3. La propriété est-elle vraie pour tous les entiers compris entre 10 et 19.
4. Quelle est le plus petit entier non nul pour lequel la propriété est fausse. Vous justifierez avec soin votre réponse.
Exercice 2
1. On lance deux dés, l'un de couleur bleue, l'autre de couleur rouge. On obtient ainsi un nombre de deux chiffres.
Le chiffre des dizaines correspond au nombre inscrit sur la face supérieure du dé bleu, le chiffre des unités au nombre inscrit sur la face supérieure du dé rouge.
Quelle est la probabilité que le nombre obtenu soit premier ?
2. Cette fois, les dés sont indiscernables. Si les nombres obtenus sur les faces supérieures des deux dés sont distincts, on décide de les ranger dans l'ordre décroissant.
Ainsi, par exemple, si les nombres inscrits sur les faces supérieures des deux dés sont 2 et 2, on obtient le nombre 22 et si les nombres inscrits sur les faces supérieures sont 4 et 5, on obtient le nombre 54.
Quelle est la probabilité que le nombre obtenu soit premier ?
Exercice 3
Le problème posé
Dans cet exercice, on s'intéresse à la propriété suivante :
Soit p un entier naturel non nul. Quel que soit l'entier naturel n strictement inférieur à p, n²-n+p est premier.
On a vu en cours que cette propriété est vraie pour p=41 (formule d'Euler).
Quelques éléments de réponse
1. Démontrez que, si n=p, alors n²-n+p n'est pas premier.
2. La propriété est-elle vraie pour p=21 ? p=17 ? p=13 ? p=31 ?
3. Démontrer que, si p n'est pas premier, alors la propriété est fausse.

4.
a) Complétez un tableau faisant apparaître, en fonction du chiffre des unités de n, celui de n², puis celui de n²-n.
b) Que peut-on en déduire quant aux nombres p qui sont premiers et dont le chiffre des unités est 3 ou 9 ?