Devoir à la maison n°8

Première S - D M 8

1. Complément sur l'exercice 1: évolution d'une population dont le taux de variation est constant.

Dans l'exercice 1 de ce devoir, vous aviez à étudier l'évolution d'une population dont le taux de variation annuel est 1,75% (t=0.0175) - on parle alors de variation annuelle relative constante. Vous avez démontré dans le devoir que la suite (P_n) ainsi définie est une suite géométrique de raison 1+0,0175=1,0175.
Plus généralement, si le taux de variation est noté t (écritude décimale du taux), le terme général est P_n=P₀(1+t)ⁿ.

Il s'agit d'observer graphiquement l'influence du taux de variation t sur le comportement de la suite (P_n).

Cadre en bas à gauche.
La suite (Q_n) où Q_n=Q₀(1+nt) a été aussi représentée - elle correspond à une variation annuelle absolue constante - Il peut être, en effet, intéressant de comparer les évolutions respectives de (P_n) et (Q_n). On s'est placé ici dans le cas où P₀=Q₀=1 (en millions d'unités ).
Cadre en bas à droite.
On peut également définir la suite (P_n) par P_n+1=f( P_n) où f(x)=(1+t)x . La représentations graphique de f et la droite d'équation y=x permettent alors de déterminer graphiquement les premiers termes de la suite (P_n). Ces construction apparaissent dans le cadre en bas à droite.

Valeur du taux de variation.
Cliquez ci-dessous et utilisez les flèches de direction pour modifier le taux t.

Représentation graphique des points de coordonnées (n,P_n) et (n,Q_n).

Cliquez ci-dessous :vous pouvez déplacer le point qui porte la valeur de n avec la souris.

Construction des premiers termes de la suite (P_n) en utilisant la courbe de f .
Cliquez ci-dessous et utilisez les flèches de direction pour modifier la valeur de n.

2. Pour les curieux : un exemple de modélisation de l'évolution d'une population en tenant compte des ressources naturelles disponibles.

Considérons par exemple une population d'insectes dont le taux de croissance annuel, dans le cas où les ressources naturelles disponibles sont illimitées est t. Son évolution est alors modélisée par P_n+1=P_n(1+t).
Dans le cas où cette population dispose de ressouces naturelles ne permettant d'assurer que la survie d'une colonie d'effectif maximal égal à 1 (en millions d'unités), il faut apporter un coefficient correcteur à cette relation qui devient, par exemple P_n+1=P_n(1-P_n)(1+t). La suite est alors définie par P_n+1=f(P_n) où f(x)=x(1-x)(1+t).
Ainsi
- si P_n est proche de 0, le coefficient 1-P_n est proche de 1, le comportement est alors proche de celui observé quand il n'y a pas de limitation des ressources ;
- si P_n est proche de 1 (effectif maximal), le coefficient 1-P_n est proche de 0 et le taux de variation est négatif.

Il s'agit d'observer graphiquement l'influence du taux de variation t sur le comportement de la suite (P_n).

Valeur du t.
Cliquez ci-dessous et utilisez les flèches de direction pour modifier le taux t.
Touche + ou - pour faire modifier le pas.

Représentation graphique des points de coordonnées (n,P_n) et modification de P₀.

Cliquez ci-dessous, vous pouvez alors déplacer le point qui porte la valeur de n avec la souris.
Vous pouvez modifier la valeur de P₀ avec la souris.

Construction des premiers termes de la suite (P_n) en utilisant la courbe de f (f(x)=x(1-x)(1+t)).
Cliquez ci-dessous et utilisez les flèches de direction pour modifier la valeur de n.