Partie 1. Une aide pour y voir plus clair.

ABCD est un carré de côté a et de centre O (a>1). Sur chacun des segment [AB], [BC], [CD] et [DA], en tournant dans le même sens, on construit un point situé à une distance 1 de chaque sommet. On construit ainsi 4 points A', B', C' et D' (le point A' sera donc le point du segment [AB] tel que AA' = 1).

1. Démontrer que A'B'C'D' est un carré de centre O. On note a' le côté de ce carré.

2. Démontrer que quel que soit a, a' >1 et a' <a.

3. On note S et S' les aires respectives des deux carrés.

a) Démontrer que .
b) Pour quelles valeurs de a ce rapport est-il minimal ?
c) Existe-t-il une valeur de a pour laquelle ce rapport est maximal ?

4. Si on connait A'B'C'D', comment peut-on construire ABCD ?

Dans cette partie, vous aurez à utiliser certains des résultats obtenus dans la partie A.

On considère un carré de côté 15 (unité : le centimètre) et de sommets A₀, B₀, C₀ et D₀ . On construit en utilisant la méthode exposée dans la partie 1. un carré A₁B₁C₁D₁. On itère ce procédé.

1. Construire les cinq premiers carrés obtenus (On les note A₁B₁C₁D₁, .......A₅B₅C₅D₅).

2. Peut-on poursuivre cette construction à l'infini ? Argumentez soigneusement votre réponse.

3. On note k_n la longueur du côté du carré A_nB_nC_nD_n .

a) Démontrez que pour tout n de N, .
b) Démontrez que la suite (k_n) est décroissante et quelle est minorée par 1.

4. Donner le tableau des 5 première termes de la suite ainsi que les termes d'indice n pour n variant de 17 à 23. Qu'observez-vous dans les deux cas ?

5. Sur la feuille 2 est représentée la fonction f définie par . On note F la courbe représentative de f.

a) On admet que si une fonction u est strictement positive et dérivable dans un intervalle I, alors est dérivable dans I et . Déduisez-en la dérivée de f et la tangente à F en son point d'abscisse 1.

b) Quelle rôle semble jouer la droite d pour la courbe F ?
Vérifiez cette conjecture en déterminant la limite de f(x) - (x-1) en +¥ . (vous commencerez par démontrer que ).

b) En utilisant F et la droite d'équation y = x, déterminez graphiquement les premiers termes de la suite (k_n). Pouvez-vous expliquer graphiquement les observations effectuées dans la question 4 ?

6. On note v_n=k_n-1.

a) Démontrez que, pour tout n de N, .
b) Déduisez-en que pour tout n de N, u_n+1 £ u_n².
c) Si u_n < 10^-1, que peut-on dire de u_n+4, de u_n+8 ? Ces résultats peuvent-ils expliquer certaines de vos observation ?