| 1.
La configuration étudiée. |
On dispose deux
triangles équilatéraux ABC et A'B'C'
isométriques de centre O et O' de façon à former une "étoile" à 6 branches.
Les 6 sommets des triangles sont alors les sommets d'un hexagone
AA'BB'CC' (noté H') et les 6 points
d'intersections des cotés des deux triangles les sommets d'un autre
hexagone EFGHIJ (noté H).
On note p le périmètre de H et a l'aire
de H'. L'objectif de cette activité est d'étudier quelques
propriétés de ces deux hexagones.
|
| 2.
Les conjectures. |
Dans
la figure ci-contre, les points O, O', A et A' sont libres et peuvent
être déplacés avec la souris.
·
Qu'observez-vous
quant à l'aire a et au périmètre p quand on translate
l'un des deux triangles ?
|
|
| 3.
Une propriété préliminaire qui sera utile par la suite. |
·
Saurez-vous démontrer la propriété suivante ?
Soient EFG et HIJ
deux triangles semblables. On les dispose de telle façon que F = H et
E, F, H, I soient alignés. (EG) et (IJ) se coupent en K.
Alors le triangle EIK a pour périmètre la somme des périmètres de EFG
et HIJ et la hauteur issue de K de EIK est la somme des hauteurs issues
de G et J dans EFG et HIJ.
Dans
la figure ci-contre, les points E, F, G, H et I sont libres et peuvent
être déplacés avec la souris.
Cette propriété
se généralise immédiatement à un nombre quelconque de triangles semblables.
|
|
| 4.
Démontrons que le périmètre p de H est invariant quand on translate
l'un des deux triangles. |
Dans
la figure ci-contre, les points O, O', A et A' sont libres et peuvent
être déplacés avec la souris.
·
Démontrez
que les 6 triangles hachurés sont semblables.
·
Que
peut-on dire de la somme de leurs périmètres ?
|
|
Dans
la firgure ci-contre, les points O, O', A et A' sont libres et peuvent
être déplacés avec la souris.
·
On
les place côte à côte (voir propriété préliminaire) de façon que E,
F, G, H, I et J soient alignés.
·
Que
peut-on dire du périmètre du "grand" triangle obtenu ? Qu'elle est la
base de ce grand triangle?
·
Que
devient ce "grand" triangle quand on translate ABC ou A'B'C' ?
·
Déduisez que p est invariant quand on translate l'un des triangles ABC
ou A'B'C'.
|
|
| 2.
Démontrons que L'aire a de H' est invariante quand on translate l'un
des deux triangles. |
·
Que
peut-on dire de la somme s des hauteurs issues de A, A', B, B', C et
C' dans chacun des 6 "petits" triangles ?
·
Déduisez-en que cette somme est invariante quand on translate l'un des
deux triangles ABC ou A'B'C'.
·
En
découpant de deux façons H' , exprimez l'aire a en fonction de s et
de la longueur l des côtés de ABC.
Utilisez
la touche D pour faire apparaître les deux découpages.
·
Concluez.
|
|
|