On dit qu'une figure géométrique F pave le plan, s'il est possible de recouvrir entièrement le plan en utilisant des figures géométriques isométriques à F.

En voici un exemple :

Le losange présenté permet de paver le plan et d'obtenir le pavage ci-contre.

Beaucoup d'autres figures géométriques permettent de paver le plan.
Dans ces pages, on s'intéresse aux quadrilatères et on cherche à répondre à la question :

tout quadrilatère peut-il paver le plan ?

 

 

Les commandes disponibles pour agir sur la figure.

· Touche T pour passer en mode Trace.

· Touches I, J, K et L pour faire subir au quadrilatère ABCD les symétries centrales de centres I, J, K et L.

· Touche S pour Sortir du mode Trace.

· Touche R pour Revenir à la position de départ si vous avez "perdu" votre quadrilatère.

 

Pouvez-vous paver le plan avec ce quadrilatère ?

Est-ce possible avec tous les quadrilatères ?
( Les sommets de ABCD sont libres, vous pouvez donc changer la forme des quadrilatères à volonté avec la souris ).

 

 

Les commandes disponibles pour agir sur la figure.

· Les touches T, S et R ont les mêmes fonctions que dans la figure ci-dessus.

· Les touches 0, 1, 2 et 3 agissent sur la figure.

La figure F ci-contre est constituée de quatre quadrilatères isométriques assemblés.

Comment est obtenu cet assemblage à partir du quadrilatère ABCD ?
A quelles transformations géométriques sont associées les touches 0, 1, 2 et 3 ?
Expliquez pourquoi la figure F pave le plan.
( La touche A peut vous aider à répondre à cette question - commencez par sortir du mode trace).

Le pavage obtenu est dit périodique, c'est à dire qu'il est obtenu à partir d'une figure F et de ses images dans des translations de vecteur ku et k'v où k et k' sont des entiers.

Donnez un couple de vecteurs u et v qui convient.