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Activité : morphing barycentrique

Quelques exemples pour vous mettre l'eau à la bouche

Remarques générales concernant les figures de cette page
Dans les figures qui illustrent cette activité, les points représentés par une marque épaisse peuvent être déplacés avec la souris. Les flèches de direction du clavier permettent de faire varier le réel k.
1. Le principe du morphing barycentrique

Considérons deux quadrilatères p0=A0B0C0D0 et p1=A1B1C1D1 et k un réel de [0;1].
On définit le point A comme barycentre de {(A0,1-k),(A1,k)}. On définit de même les points B, C et D.
On obtient ainsi un quadrilatère p=ABCD.
Quand on fait varier k dans [0;1], p, en général, se déforme progressivement en passant du quadrilatère p0 au quadrilatère p1.

Cette technique s'étend immédiatement à un tout couple de polygones ayant le même nombre de sommets.

Il s'agit, dans cette activité, de découvrir et de justifier quelques propriétés remarquables du polygone p.
2. Quelques observations et conjectures
p0 et p1 sont deux quadrilatères quelconques
Qu'observez-vous quand on translate l'un des polygones p0 ou p1 ?
p0 et p1 sont deux parallélogrammes
Conjecturez une propriété générale
Déplacez A1 ou A0 pour translater p1 où p0
I et J sont les milieux de [AC] et [BD]
p0 et p1 sont deux losanges
Conjecturer une propriété suffisante pour que, quel que soit k, p soit un losange.
p0 et p1 sont deux rectangles ou deux carrés
Qu'observez-vous ?
r=AB/AD
On a représenté le cercle de diamètre [AC]. r=AB/AD
3. Justification de ces quelques observations.
Propriétés générales.

1.
Soient R0, S0, R1 et S1 quatre points du plan. Comme expliqué ci-dessus, on définit les points R et S barycentres de {(R0,1-k),(R1,k)} et {(S0,1-k),(S1,k).
Exprimez en fonction de k, et .
Déduisez de ce résultat les propriétés suivantes :
a) est invariant quand on translate et ou et .
b) Si p0 et p1 sont deux parallélogrammes, alors p est un parallélogramme.

2.
a) En remarquant que = , démontrez que = +2k( )+ .
 La fonction f qui à k associe est donc en général une fonction trinôme.
b) A quelle condition portant sur R0, S0, R1 et S1 f n'est-elle pas une fonction trinôme ? Que peut-on dire de RS dans ce cas ?
c) Montrer que, quand et sont colinéaires, alors f est le carrée d'une fonction affine.Que peut-on en déduire pour RS dans ce cas ?
d) Quelles sont les valeurs prises par cette fonction si k=1 et si k=0 ?
Le cas où p0 et p1 sont deux losanges.
Vous avez dû observer qu'en général, p n'est alors pas un losange.
Vous allez démontrer dans cette partie que si les diagonales de p0 et p1 sont parallèles, alors pour tout réel k, p est un losange.

1. Une première méthode géométrique.

La figure ci-contre doit vous donner l'idée de la démonstration (commencez par placer A0 sur A1 par exemple).

 

 

 

 

 

 
Déplacez A1 ou A0 pour translater p1 où p0
2. Une seconde méthode qui utilise des propriétés des trinômes.
a) Soient deux fonctions trinômes f et g définies par f(x)=ax²+bx+c et g(x)=a'x²+b'x+c'.
Démontrez que f=g si et seulement si f(0)=g(0), f(1)=g(1) et a=a'.
b) Soient f et g les fonctions qui à k associent respectivement AB² et AC².
Démontrez que si p0 et p1 sont deux losanges, alors f(0)=g(0) et f(1)=g(1).
Démontrez que si et sont colinéaires, alors ( )²=( )².
c) Déduisez-en la justification de la propriété énoncée en préambule.
Le cas où p0 et p1 sont deux carrés directs.
Vous avez dû observer qu'il semble alors que pour toute valeur de k, p est un carré.
Dans cette partie, vous allez justifiez cette conjecture.

Expliquez pourquoi il suffit de démontrer cette propriété dans le cas où A0=A1, par exemple. Dans la suite de cette partie, on se place dans ce cas.
Soit r la rotation de centre A0 et d'angle p/2.
1. Quelles sont les images par r des points A0 et B0 ? Déduisez-en les images de A et B.
2. Déduisez des questions précédentes que AB=AD et que (AB) est perpendiculaire à (AD).
3. Déduisez-en la justification de la propriété énoncée en préambule.

 

 

 

 
Touche I pour placer A1 sur A0