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Une activité autour de la section d'un polyèdre par un plan - Partie 1

Les deux problèmes posés
Le problème n°1
Le problème n°2

Le bâtiment vide a la forme d'un cube, seul le mur ABFE est percé d'une ouverture carrée PQBR telle que PR=(2/3)BF, il fait nuit, le lampadaire L est allumé. Le point D1 , projeté orthogonal de L sur le sol est le symétrique de D par rapport à A et D1L=AE. Il s'agit de dessinez la zone éclairée à l'intérieur du bâtiment.

Même question dans le cas d'une ouverture triangulaire APB où P est défini par .
Partie 1. Construction - Partie 2. Justification d'une conjecture
Résolution du problème n°1

On va se ramener à deux problèmes plus simples en remarquant que la zone éclairée cherchée est l'intersection des zones éclairées quand les ouvertures pratiquées dans le bâtiment sont respectivement les rectangles RBFR' et Q'ABQ.

Une aide pour bien comprendre la situation.
· Construction n°1.
Dans la situation ci-dessous, la frontière entre la zone éclairée et celle qui est dans l'obsurité est la partie du plan (LQQ') qui est à l'intérieur du cube.
Le problème revient donc à construire la section du cube par le plan (LQQ').
Cette section est représentée dans le cadre ci-dessous (on a utilisé pour la construire l'article "section d'un polyèdre par un plan " de Géospace).
Il s'agit pour vous de réaliser cette même construction dans le cadre de droite (attention, vous ne disposez pas de toutes les fonctionnalités du logiciel GéospacW !).
Double clic dans le cadre pour accéder au menu

· Construction n°2.
Le problème est ici de construire la section du cube par le plan (LRR').
Comme dans le cas précédent, il s'agit pour vous de réaliser cette construction dans le cadre de droite.
Double clic dans le cadre pour accéder au menu
· Travail sur papier .
Reproduisez sur feuille ces deux constructions dans le même cube et faites-y apparaître l'intersection des deux zones éclairées.
Résolution du problème n°2

Comme dans le problème n°1,on se ramene à deux problèmes plus simples en remarquant que la zone éclairée cherchée est l'intersection des zones éclairées quand les ouvertures pratiquées dans le bâtiment sont respectivement les trapèzes ABFR et BSEA.

Une aide pour bien comprendre la situation.
· Construction n°1.
Il s'agit de construire la section du cube par le plan (LAR).
 Réalisez cette construction dans le cadre ci-dessous.
 · Construction n°2.
Il s'agit de construire la section du cube par le plan (LBS).
 Réalisez cette construction dans le cadre ci-dessous.
· Travail sur parpier .
Reproduisez sur papier ces deux constructions dans le même cube et faites-y apparaître l'intersection des deux zones éclairées.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Problème n°1 - Une aide pour bien comprendre le problème dans l'espace.

L'ensemble des rayons lumineux qui pénètrent par l'ouverture rectangulaire pratiquée dans le mur forme une pyramide p de sommet L.

Dans les deux figures, les points dessinés avec une marque épaisse peuvent être déplacés avec la souris.
Vous pouvez ainsi modifier la position du lampadaire ainsi que la position et la forme de l'ouverture.

 

 

La zone éclairée à l'intérieur du bâtiment cubique est donc l'intersection du cube avec la pyramide p.

La zone éclairée à l'intérieur du bâtiment est représentée en bleu.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Problème n°2 - Une aide pour bien comprendre le problème dans l'espace.

L'ensemble des rayons lumineux qui pénètrent par l'ouverture triangulaire pratiquée dans le mur forme un tétraèdre t de sommet L.

Dans les deux figures, les points dessinés avec une marque épaisse peuvent être déplacés avec la souris.
Vous pouvez ainsi modifier la position du lampadaire ainsi que la position et la forme de l'ouverture.

 

 

La zone éclairée à l'intérieur du bâtiment cubique est donc l'intersection du cube avec le tétraèdre t

La zone éclairée à l'intérieur du bâtiment est représentée en bleu.

Afin de faciliter la lecture de la figure, le cube a été représenté transparent.