Activité : Un problème non encore résolu par les mathématiciens, la suite de Syracuse

1. L'énoncé du problème.

On définit par récurrence dans N la suite d'entiers (un) de la façon suivante :

a=u0 est un entier naturel non nul quelconque.
Pour tout n de N, si un est pair, alors un+1=un/2 et si un est impair, alors un+1=3un+1.

Dans la cadre ci-contre, la suite un est représentée graphiquement (500 premiers termes).

Il semble que, quelle que soit la valeur de a=u0, la suite soit périodique de période 3 (séquence 4, 2, 1...) à partir d'un certain rang. Cette propriété est-elle vraiment générale ?

Ce problème à l'énoncé très simple posé en 1950 à l'université américaine de Syracuse - d'où son nom - n'a pas encore été résolu.

Il s'agit dans cette activité de découvrir quelques propriétés plus modestes de cette suite.

 
Touche N et flèches de direction pour faire varier n
I pour donner à n la valeur 0
Touche U et flèches de direction pour faire varier a=u0
J pour donner à a la valeur 0).
Pour donner à a une valeur particulière : Double clic - Menu piloter - Affecter une valeur à une variable libre - La variable est a.
2. L'activité.
1. Quel est le comportement de la suite pour u0 = 1, 2, 4 ? Plus généralement, quel est le comportement de la suite si u0 = 2n ?
2. Déterminez toutes les suites telles que u4 = 4, 3, 5 .
3. Quel est le comportement de la suite pour u0 = 3, 6, 12 ? Plus généralement, quel est le comportement de la suite si u0 = 3.2n ?