Polynôme du second degré
Retour vers la page Analyse
Activité d'introduction
Ce qu'il faut savoir

1. Définitions et propriétés générales

Définitions.

On appelle fonction polynôme du second degré (ou fonction trinôme) toute fonction f définie dans R et telle que f(x) peut s'écrire sous la forme f(x)=ax²+bx+c où a, b et c sont des réels indépendants de x avec a non nul
On appelle trinôme l'expression algébrique ax²+bx+c

On appelle discriminant du trinôme ax²+bx+c le nombre D=b²-4ac

On appelle racine du trinôme ax²+bx+c une solution de l'équation ax²+bx+c=0

Propriétés vraies pour toute fonction trinôme.

· Le trinôme ax²+bx+c peut s'écrire sous la forme . Cette forme est appelée la forme canonique du trinôme.

· Soit g : x |®ax² de représentation graphique G.
La représentation graphique F de la fonction trinôme f est l'image de G par la translation de vecteur .

· La représentation graphique d'une fonction trinôme est une parabole. La forme de cette parabole dépend uniquement du coefficient de x², son sommet S a pour abscisse et elle est symétrique par rapport à la droite d'équation x= .
Les points S et F peuvent être déplacés avec la souris.
2. Propriétés qui dépendent des coefficients a, b et c.
· Les variations de f.
Les variations d'une fonction trinôme dépendent uniquement du signe du coefficient de x²
Si le coefficient de x² est positif
Si le coefficient de x² est négatif
· Autres propriétés.
La situation n°1
On est dans cette situation si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée
D < 0
Le trinôme ne se factorise pas
Le trinôme n'a pas de racine
Le trinôme a le même signe pour toutes les valeurs de x
La parabole F n'a pas de point commun avec l'axe des abscisses
Si le coefficient de x² est positif

· Le signe du trinôme est celui du signe du coefficient de x².

· Dans la forme canonique ,
les coefficients a et d sont de même signe.
Si le coefficient de x² est négatif
La situation n°2
On est dans cette situation si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée
D = 0
Le trinôme se factorise sous la forme a(x-x0)²
Le trinôme a une seule racine, x0
Le trinôme a le même signe pour toute les valeurs de x différentes de la racine
La parabole F a un seul point commun avec l'axe des abscisses
Si le coefficient de x² est positif

· Le signe du trinôme, pour x différent de x0, est celui du coefficient de x².

· La racine est x0=

· Dans la forme canonique , le coefficient d est nul.
Si le coefficient de x² est négatif
La situation n°3
On est dans cette situation si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée
D > 0
Le trinôme se factorise sous
la forme a(x-x1)(x-x2) avec x1¹x2
Le trinôme a deux racines distinctes x1 et x2.
Le signe du trinôme dépend de la position de x par rapport aux racines
La parabole F coupe l'axe des abscisses en deux points
Si le coefficient de x² est positif

· Le signe du trinôme est celui du coefficient de x² à l'extérieur des racines.

· Les racines sont
x1=
x2=

· Dans la forme canonique , les coefficients a et d sont de signe contraire.
Si le coefficient de x² est négatif