Activité : approcher la fonction cos par une fonction polynôme

1. Quelques observations.

L'espace est muni d'un repère orthonormal .
C est un cylindre d'axe z'oz et de rayon r (touche R et flèches de direction pour faire varier r).
On représente graphiquement la fonction cosinus dans un plan P tangent au cylindre et muni du repère où O' a pour coordonnées (r,0,0) dans . On note C cette représentation graphique.

On "enroule" le plan autour du cylindre (touche L - touche I pour réinitialiser).

Dans le cadre de droite, on a placé le plan P de face.
On voit la représentation graphique C (bleue) de la fonction cosinus ainsi que la courbe C' (verte) obtenue par enroulement autour du cylindre.

Vous pouvez observer que dans un intervalle centré en 0, les deux courbes sont très proches l'une de l'autre et que la largeur de cet intervalle augmente quand le rayon r du cylindre augmente, (touche R et flèches de direction pour faire varier r).

Notons f la fonction dont la représentation graphique dans coïncide avec C' dans cette vue de face.

Il s'agit, dans cette activité et pour certaines valeurs de r, de déterminer cette fonction f qui semble être une bonne approximation de la fonction cos dans un voisinage de 0.

 
2. Détermination de f.
Partie A. Etude générale. (Voir les deux cadres ci-dessous).

M est un point du plan P de coordonnées (r,b,c) dans le repère , après enroulement, M coïncide avec le point N du cylindre, Q est le projeté orthogonal de N sur le plan P.
1. Dans le cas où M est un point de (c=0), déterminez en fonction de b et de r les coordonnées dans le repère de N et de Q. (M peut être déplacé dans P avec la souris). Vous devez trouver N:(rcos(b/r),rsin(t/r),0) et Q:(r,rsin(t/r),0).
2. Déduisez-en les coordonnées dans le repère de N et de Q en fonction de r, b et c dans le cas général.


Vue "de dessus" avec oxy de face.
Partie B. Cas de la fonction cosinus.

Dans cette partie, M est le point du plan P de coordonnées Y=t et Z=cos(t) dans le repère .
1. Déduisez de l'étude générale l'expression des coordonnées de Q dans le repère en fonction de r et de t.
 2. Cas r = 2.
Démontrez que Q appartient à la courbe d'équation Z=1-0.5Y² dans le repère .
Déduisez-en la fonction f dans ce cas.
3. Cas r = 4.
Démontrez que Q appartient à la courbe d'équation Z=(1/32)Y4-0.5Y²+1 dans le repère .
Déduisez-en la fonction f dans ce cas.