Soit
f une fonction.
Si f est continue dans
[a;b], alors, pour
tout réel k
compris entre f(a)
et f(b), il existe
au moins un réel c
de [a;b] tel que f(c)=k
.
· Cette
propriété a été conjecturée
dans la page
d'introduction.
·
Sa démonstration
fait appel à deux suites adjacentes définies par
la méthode de dichotomie.
·
Ce théorème
traduit de façon rigoureuse la propriété
suivante :
A
et B sont deux
points d'abscisses a
et b de la courbe
F d'une fonction
f.
Si
on peut tracer F
entre A et B
sans lever le crayon, alors toute droite d'équation y=k
où k est
un réel compris entre A
et B coupe la courbe
F en au moins un point.
·
La continuité
de f est une condition
suffisante pour assurer l'existence de c,
elle n'est pas nécéssaire (voir l'exemple
4 de la page d'introduction).
2.
Le
cas d'une fonction continue strictement monotone dans [a:b]
Soit
f une fonction.
Si f est continue et
strictement monotone dans [a;b],
alors, pour tout réel k
compris entre f(a)
et f(b), il existe
un unique réel c
de [a;b] tel que f(c)=k
.
La démonstration
découle très simplement de la définition de la stricte
monotonie.
· La
continuité et la stricte monotonie de f
sont des conditions suffisantes pour assurer l'existence et l'unicité
de c, elle ne sont pas nécessaires
(un
exemple).
· Comment
démontrer qu'une fonction f est strictement monotone dans [a;b]
?
Si f est dérivable,
il n'est pas nécessaire que la fonction dérivée
f' de f soit strictement
positive dans [a;b]
ou strictement positive dans [a;b].
La fonction cube, par exemple, est strictement croissante dans R,
sa dérivée s'annule en 0.
En pratique,
pour qu'une fonction dérivable dans
[a;b]soit strictement
croissante (resp. décroissante) dans [a;b],
il suffit que f'
soit strictement positive (resp. strictement négative) dans
[a;b]sauf
éventuellement en des points isolés de [a;b].