Limite de fonction - Continuité

· Le problème posé

F est la représentation graphique d'une fonction f, a et b sont deux réels du domaine de définition de f (on suppose a<b).

Quel que soit le réel k choisi entre f(a) et f(b), existe-t-il un réel x de [a;b] tel que f(x) =k ?
Ou, graphiquement,
quel que soit le réel k choisi entre f(a) et f(b), la droite d d'équation y=k coupe-t-elle F entre a et b ?

· Quelques exemples

Dans chaque exemple, la touche L lance une animation

Ex n°1. f(x)=sinx+2 a=2 b=4

Ex n°2.

a=-2 b=1

Ex n°3. f(x)=2sinx+x a=1 b=6

Quel que soit k,
d coupe F une fois et une seule

Quel que soit k,
d ne coupe pas F

Quel que soit k,
d coupe F au moins une fois (selon les cas, 1, 2 ou 3 fois)

Ex n°4. f(x)=x-E(x) a=1/4 b=7/4

Ex n°5. f(x)=x+E(x) a=1/4 b=7/4

Ex n°6.

a=-2 b=1

Quel que soit k,
d coupe F deux fois

Pour k dans [1;2[, d ne coupe pas F
sinon, d coupe F une seule fois

Si k est différent de 1, d coupe F une fois et une seule
Si k=1, d ne coupe pas F

· Quelques remarques et conjectures

Une condition suffisante pour que d coupe dans tous les cas au moins une fois F semble être que l'on puisse tracer F entre a et b "sans lever le crayon" - exemples 1 et 2.
Cette condition n'est cependant pas nécessaire comme le montre l'exemple 4.

Une condition nécessaire pour que l'on puisse tracer F entre a et b "sans lever le crayon" est que f soit définie dans l'intervalle [a;b] - exemples 2 et 6.
Cette condition n'est pas suffisante comme le montre l'exemple 5.