LA DEMONSTRATION

PHILOSOPHIE BAC !
jeudi 1er mai 2008
par  Lydia COESSENS

LA DEMONSTRATION

La notion de démonstration peut d’abord être comprise à partir de sa mise en relation avec la notion d’interprétation : dans cette relation, elle apparaît comme instrument des sciences dites dures, i.e les sciences naturelles et hypothético-déductives, alors que l’interprétation serait celui des sciences humaines. Par sa rigueur infaillible, la démonstration promeut alors ces sciences au rang de modèle du savoir. Une gradation est même possible à l’intérieur des sciences, au sens où la démonstration trouve sa pureté formelle dans les inférences mathématiques, lesquelles relégueraient la démonstration expérimentale au rang de démonstration déjà impure. Il nous faut ici prendre garde au caractère formel de l’inférence mathématique : la validité formelle d’une proposition n’a pas de lien nécessaire avec la vérité de son contenu. C’est tout le problème des mathématiques comme modèle du raisonnement qui est ainsi posé : en établissant la validité de ce qui est déduit à partir d’hypothèses, les mathématiques disent-elles quelque chose du réel ? A partir de son modèle mathématique, la démonstration peut-elle établir la vérité de ce qui est donné ou seulement des constructions formelles de l’esprit ?La démonstration est l’opération par laquelle une proposition est établie à partir d’une autre. La tradition logique donne à celle-là le nom de conclusion, et à celle-ci le nom de prémisse. La démonstration repose donc sur l’inférence, qui renvoie à ce qu’un raisonnement a de valide dans le passage d’une idée à une autre : par la déduction, qui consiste à tirer un effet d’une cause, ou l’induction, qui consiste à tirer une cause d’un effet. L’obstacle qui guette nécessairement la démonstration n’est donc autre que la régression à l’infini : jusqu’où faut –il remonter pour trouver une prémisse qui ne soit pas elle-même le résultat d’une inférence ? Cette difficulté oblige à poser, en amont de toute démonstration, de l’indémontrable. Il s’agira donc d’établir par quel autre moyen (convention, évidence) de telles vérités premières indémontrables sont connues. En tout état de cause, une dualité fondamentale apparaît donc au cœur même de la notion de démonstration : est-ce du mouvement déductif qu’une démonstration tire sa valeur, ou d’un au-delà de la déduction ?
La démonstration se comprend à partir de son socle : la logique qui théorise les opérations de l’esprit, et qui élabore et contrôle la cohérence des énoncés. Cette cohérence n’est autre que la non-contradiction : la logique est donc la science de la validité des inférences, i.e des inductions et déductions entre les idées. C’est donc apparemment d’une discipline orientée exclusivement vers la forme des raisonnements qu’il s’agit. Mais ce serait oublier que l’appellation « la »logique recouvre en fait une multiplicité de logiques. Même si elles ont toutes pour point commun de s’attacher à la non-contradiction, elles ne sont pas toutes purement formelles. En d’autres termes, la logique vise non seulement la structure de la pensée, mais, par-delà, celle du réel lui-même. Ainsi s’agit-il d’essayer de comprendre si la logique ne donne à la connaissance que sa forme, ou aussi son objet : la logique s’entend-elle de l’être ou du connaître ?

I. Le socle de la démonstration : la logique

a) Le modèle syllogistique de la démonstration

C’est l’idée de nécessité qui a conduit Aristote à l’organisation logique de la connaissance : puisqu’il n’est de connaissance que du nécessaire, la logique a pour raison d’être la nécessité dans les procédés de la pensée : cette nécessité doit s’entendre en un double sens, comme rigueur de la transmission et comme nécessité intrinsèque du premier maillon de la chaîne logique :
« à la nécessité du lien entre les prémisses et la conclusion qui caractérise le syllogisme formel, s’ajoute ici la nécessité des principes qui se transmet, en vertu de la nécessité syllogistique, à la conclusion »
 [1]
C’est la raison pour laquelle cette nécessité s’incarne d’abord dans le principe de la contradiction, principe fondateur de l’édifice logique :
« il est impossible que le même attribut appartienne et n’appartienne pas en même temps, au même sujet et sous le même rapport »
 [2]
Ce premier principe anhypothétique inaugure la logique classique comme une logique du tiers-exclu (pas d’intermédiaire entre ce qui est vrai et ce qui est faux), et comme une logique de non-contradiction. Ainsi la logique est-elle
« la science des règles de l’entendement en général » [3], mais au prix d’un apparent divorce avec la matière, et donc d’une formalisation, qui va atteindre d’emblée la démonstration. En effet, il serait contradictoire en soi qu’il y ait un critère universel de la matière de la connaissance : par conséquent, ce que la logique validera ne sera pas nécessairement vrai : « une connaissance peut fort bien être complètement conforme à la forme logique, c’est-à-dire ne pas se contredire elle-même, et cependant être en contradiction avec l’objet »
La non-contradiction est la propriété fondamentale du système déductif logique en ce qu’elle donne le critère du mode d’enchaînement des propositions, et donc des démonstrations : c’est ce qu’Aristote a développé dans son Organon, par la célèbre théorie du syllogisme. Le prototype traditionnel en est le suivant :
tout homme est mortel (majeure)
, Socrate est homme (mineure),
donc Socrate est mortel (conclusion).
C’est la rigueur de l’inférence qui assure la vérité de la conclusion, si bien que la matière put en être remplacée par des variables conceptuelles : Tout x est y, or z est x, donc z est y.
Pour autant cette logique n’est pas formelle au point d’être, en tout cas dans l’esprit d’Aristote, décrochée du réel : ainsi la loi de la non-contradiction « ne flotte pas au-dessus des choses. La loi de non-contradiction est pour lui une nécessité, non de la pensée, mais des essences mêmes, un principe qui est à l’œuvre dans les choses » [4]
Le modèle syllogistique de la démonstration n’est pas au-dessus de tout reproche. C’est en particulier de son caractère formel que naissent les premières difficultés : comment distingue-t-on vrais et faux syllogismes ? Le risque de confusion est souligné par Guillaume d’Ockham . [5]Il suffirait de s’en tenir au seul syllogisme, sans le contrôler par des règles logiques externes, pour être dans la confusion : « ceux qui ignorent cette science prennent de nombreuses démonstrations pour des sophismes, et inversement, accueillent à titre de démonstrations bien des sophismes, faute de savoir distinguer entre le syllogisme sophistique et le démonstratif » Ces périls conduiront Leibniz à renoncer au modèle syllogistique pour la démonstration, au nom des risques de confusion que ce modèle porte en lui.

b) La démonstration et l’indémontrable

A partir de quel type de propositions peut-on déduire de façon valide une conséquence ? Aucun syllogisme, aussi valide soit-il, ne peut éviter de buter sur cette question. Aristote le fait valoir à ceux qui voudraient que le principe de non-contradiction leur fût démontré :
« c’est de l’ignorance, en effet, que de ne pas distinguer ce qui a besoin de démonstration et ce qui n’en a pas besoin. Or il est absolument impossible de tout démontrer : on irait à l’infini, de telle sorte que, même ainsi, il n’y aurait pas de démonstration. Et s’il y a des vérités dont il ne faut pas chercher de démonstration, qu’on nous dise pour quel principe il le faut moins que pour celui-là ? » [6]
La démonstration en appelle donc nécessairement à un au-delà d’elle-même, c’est-à-dire à de l’indémontrable.
Quel sens donner à cet indémontrable ? Il s’agit des propositions premières que l’on finit par rencontrer en remontant la chaîne des déductions. Le statut de ces propositions premières fait difficulté : c’est ce qui se joue dans la différence entre un axiome et un postulat. Les axiomes sont censés être des propositions évidentes par elles-mêmes, et ils n’ont donc aucun caractère incertain : ils sont anhypothétiques. Les postulats sont de nature différente : il s’agit de propositions indémontrables [7] mais qu’on suppose tirées de l’expérience et qu’on demande au lecteur d’admettre en tant qu’elles sont indispensables à la démonstration à venir. L’idée platonicienne du Bien donne une autre figure de cet indémontrable : c’est l’anhypothétique, l’inconditionné dont les conditions sont déduites : il faut ainsi considérer les hypothèses « non comme des principes mais réellement comme des hypothèses, à savoir comme des bases pour prendre son élan de façon à parvenir jusqu’au non hypothétique, au principe du tout ». [8]
L’existence d’un indémontrable met en péril la pureté formelle de la logique. Le logicisme est la tendance à réduire tout objet à des structures logiques, comme par exemple pour les mathématiques. La volonté leibnizienne de ramener les postulats géométriques à des axiomes logiques a pourtant été battue en brèche par l’irruption de la géométrie non-euclidienne, qui a ajouté ses propres postulats, différents de ceux de la géométrie euclidienne. Même en arithmétique, il semble difficile de réduire les mathématiques à un corps de propositions logiques : les tentatives pour établir la non-contradiction des différentes axiomatiques se sont soldées par autant d’échecs. Cet échec est celui du formalisme : fondée sur sa seule solidité formelle, même et surtout en mathématique, la démonstration ne se suffit pas à elle-même.

c) Le nécessaire recours à l’intuition

La position logiciste, qui entend réduire les mathématiques à la logique, ne tient qu’à condition de pouvoir dresser des axiomatiques rigoureuses, qui reposent sur des évidences plutôt que sur des hypothèses. Or la vérité mathématique est une vérité d’ensemble, qui a le caractère global « d’une vaste implication, où la conjonction de tous les principes constitue l’antécédent, et celle de tous les théorèmes le conséquent » [9] Si l’on considère ainsi les principes comme un ensemble, la différence entre axiome et postulat se réduit, et les principes mathématiques eux-mêmes deviennent hypothétiques. Ce que cette axiomatisation entend répudier, c’est justement bel et bien l’élément qui lui résiste : l’intuition concrète. En quoi garde-t-elle pourtant dans la démonstration mathématique une place irréductible ?
Le sens commun le sait bien : la géométrie est l’art de raisonner juste sur des figures fausses. La pureté des mathématiques tient bien en effet à première vue à ce qu’elles ne dépendent de rien d’empirique :
« Les vérités nécessaires, telles qu’on les trouve dans les mathématiques pures et particulièrement dans l’arithmétique et la géométrie, doivent avoir des principes dont la preuve ne dépende point des exemples, ni par conséquence du témoignage des sens », explique par exemple Leibniz. [10]Mais il s’empresse d’ajouter : « quoique sans les sens on ne serait jamais avisé d’y penser ». Voilà mise en lumière l’ambiguïté de la figure, sans laquelle on ne peut comprendre, mais qui théoriquement ne prend pas part à la démonstration, un peu comme un maître des échecs peut jouer une partie aveugle, mais non sans avoir dû apprendre avec des pièces.

Aussi fausse qu’elle puisse être, la figure paraît donc nécessaire : les mathématiques
« se servent en outre des formes visibles et […] c’est sur elles qu’ils font leurs calculs, en pensant non pas à elles, mais aux choses auxquelles elles ressemblent : ils mènent leur raisonnement à propos du carré lui-même ou de la diagonale elle-même, et non à propos de celle qu’ils dessinent », explique ainsi Socrate à Glaucon. [11]
Mais une présentation empirique, inutile en droit, est nécessaire en fait, comme le même Socrate l’illustre en faisant dessiner un triangle à l’esclave du Ménon. Ainsi, même si l’efficacité des formes mathématiques vient de ce qu’on les a vidées de tout contenu intuitif, il n’est pas niable « que ces formes avaient à l’origine un contenu intuitif bien déterminé » [12] Ce rôle de l’intuition demeure pour le mathématicien, image mentale incommunicable, donnée dans l’intuition pure de l’espace.

II. Les méthodes de démonstration

a) Intuition ou forme ?

Cette question posée aux mathématiques peut dès lors être étendue à la démonstration en général : quel rôle l’intuition y joue-t-elle ? Les règles que Descartes assigne à la démonstration reposent sur le modèle déductif de l’analyse, du simple au composé, du général eu particulier, de la cause à l’effet. Ainsi est-il possible de construire « de longues chaînes de raisons, toutes simples et faciles » [13] , pour appliquer cette façon des géomètres à toutes les autres sciences. Mais la déduction n’est pas seule dans la méthode cartésienne de la démonstration : les premières propositions, ou notions simples, dont tout le reste est déduit, relèvent de l’intuition, ce « concept que l’intelligence pure et attentive forme avec tant de facilité et de distinction qu’il ne reste absolument aucun doute sur ce que nous comprenons » [14] : cette présence de l’évidence redonne une place à l’intuition dans la démonstration. C’est autour de cette place de l’intuition dans la démonstration que se joue le débat de l’intuitionnisme et du formalisme.
En effet, Leibniz oppose son formalisme à l’intuitionnisme de Descartes : en réalité la divergence tient aussi à ce que chacun des deux philosophes tire des mathématiques. Descartes en retient avant tout l’intuition de l’évidence : les mathématiques sont dénuées d’incertitude. La certitude a l’intuition pour base et la déduction n’est que la continuité de l’intuition. Leibniz au contraire retient la construction des algorithmes, la loi et la succession des lois. L’intuitionnisme cartésien confine la logique à un rôle de continuité de l’évidence, alors que le formalisme leibnizien la met au premier rang d’un édifice axiomatique. Ces deux méthodes sont des méthodes analytiques rivales.
Or une autre méthode est possible, c’est la synthèse, qui recompose au lieu de décomposer, qui induit au lieu de déduire, qui part des parties vers le tout au lieu de décomposer le tout en partes. Chez les logiciens, la synthèse se présente davantage comme méthode d’exposition que comme méthode de recherche : ainsi Arnauld et Nicole écrivent-ils qu’ « il y a deux sortes de méthodes : l’une pour découvrir la vérité, qu’on appelle analyse […] et l’autre pour la faire entendre aux autres quand on l’a trouvée, qu’on appelle synthèse, ou méthode de composition, et qu’on peut appeler aussi méthode de doctrine » [15]Or la synthèse ne se réduit pas nécessairement à cette fonction d’exposition : en donnant à l’expérience son autonomie, la révolution galiléenne a introduit l’idée que l’induction scientifique et une méthode par synthèse pouvaient tenir un rôle dans la recherche de la vérité.

b) Déduire ou induire ? Preuve et expérience

La démonstration établit la vérité d’une proposition à partir de prémisses, et plus largement de preuves. C’est que la preuve ne s’entend pas seulement au sens logique de l’inférence : elle s’entend aussi comme confrontation au réel, i.e comme constat. Certes le constat ne saurait servir à quoi que ce soit en sciences formelles : un X, un 3 ou un triangle ne sont pas des objets perceptibles. En revanche, les sciences expérimentales font appel, à titre de méthode, à la caution du réel : à ce titre, elles introduisent l’élément du constat dans la méthode scientifique. Pour autant, le constat n’y fait pas nécessairement figure de critère de vérité, et toute expérience n’est pas cruciale [16] : la logique garde une main sur l’expérience, parce que toute expérience paraît devoir comporter quelque part de théorie, comme si la notion même de démonstration expérimentale abusait déjà du sens de la notion de démonstration.

La représentation courante de l’expérience scientifique comme expérience involontaire paraît pourtant prendre le contre-pied de cette conception. La légende veut par exemple que Newton ait découvert la gravitation universelle en étant réveillé d’une sieste par la chute d’une pomme sur sa tête, ou encore qu’Archimède ait découvert la poussée qui porte son nom dans une baignoire. De façon moins mythologique, Canguilhem note que c’est par inadvertance que Pasteur injecte à des poules des cultures de choléra vieillie, ce qui le mènera à la découverte du vaccin contre la rage : voilà « un fait qu’il faut bien dire expérimental sans préméditation d’expérience » [17] Ce modèle de l’expérience involontaire recouvre en réalité une méthode inductive : d’un constat de l’effet, on tirerait l’idée de la cause : d’une récurrence de faits, on induirait une généralité. Il faut penser ici aux domaine des sciences expérimentales qui n’étaient pas expérimentables techniquement (l’existence de Pluton a d’abord été induite avant que Le Verrier, muni d’une lunette astronomique suffisante, ne la constate) ou moralement (Thomas Harvey a induit la circulation du sang parce qu’il ne pouvait ouvrit de corps) Et comment ferait Freud pour constater l’existence de l’inconscient, qui n’est ni un organe ni une réalité matérielle, sinon par induction ? et ainsi dira-t-il qu’ « il se produit fréquemment des actes psychiques qui, pour être expliqués, présupposent d’autres actes qui, eux, ne bénéficient pas du témoignage de la conscience »Freud, Métapsychologie, Gallimard, 1968, p.66

Pourtant cette méthode inductive bute sur la notion de recherche. Comment le chercheur pourrait-il chercher sans savoir ce qu’il recherche ? Ainsi Einstein fait-il valoir qu’à l’encontre de l’idée simple qu’incarne la méthode déductive, le chercheur ne pourrait, sans idée préconçue, « isoler des faits bruts assez simples pour qu’apparaisse la loi à laquelle ils obéissent » [18]C’est que la notion même d’expérience suppose un protocole de validation à partir d’une hypothèse, au point que l’expérience de laboratoire apparaît comme une conséquence déduite : la méthode hypothético-déductive s’applique donc ainsi aux sciences de la nature. Ainsi, Bachelard [19] part de l’exemple de la discontinuité de l’électricité pour montrer que cette hypothèse ne fut vérifiée que par une expérimentation de Faraday en 1833, et que cette expérience mettait en jeu un appareillage produisant effectivement des électrolyses, mais d’une manière telle que jamais la nature n’en donne à voir tels quels. Donc, ce n’est pas le donné phénoménal qui confirme la méthode, mais bien plutôt un phénomène que l’on construit : il s’agit non point de recueillir fidèlement les phénomènes tels qu’ils apparaissent mais de constituer techniquement des phénomènes qui sont la réalisation d’objets non point donnés mais construits. C’est là en effet le sens qu’on peut donner aux analyses de laboratoire, dans lesquelles on n’expérimente que sous des conditions contrôlables de pression, de température, d’hygrométrie, etc., conjonction de conditions qui ne se présentent jamais dans la nature à l’état pur. L’existence même des laboratoires est bien la preuve de ce qu’ avance Bachelard : les phénomènes dans lesquels la science recherche confirmation de la vérité de ses hypothèses sont construits par elle à cette fin.

c) Le cas du modus tollens

C’est un certain syllogisme qui porte en lui la difficulté logique inhérente à tout débat sur la démonstration expérimentale : celui qui porte le nom de modus tollens.
La majeure dispose que si X, alors Y.
La mineure ajoute : or non-Y.
Que devra-t-on conclure ?
La tradition scolastique disposait que le résultat ne pouvait être que : non-X. Si X signifie la vérité de la théorie et Y le résultat prévisible d’une expérience, on peut résumer cette difficulté en un exemple. Imaginons-nous en travaux pratiques de chimie : le cours qui a précédé rend prévisible l’obtention par expérience d’un précipité bleu. Or, l’expérience ne nous livre par le précipité attendu. Que penser ? Que le cours qui précède était faux ? Ou que nous avons mal conduit l’expérience et devons la refaire jusqu’à ce que le résultat nous satisfasse ? La première proposition est empiriste, et la seconde est rationaliste.Le rationalisme réfute ainsi la possibilité d’expériences cruciales, refusant ainsi à l’expérience la capacité de réfuter une théorie. C’est par exemple la position d’un Duhem, qui considère que l’expérience ne nous dit jamais où est l’erreur,, alors qu’une théorie physique est un ensemble d’hypothèses. Ainsi, « le physicien ne peut jamais soumettre au contrôle de l’expérience une hypothèse isolée, mais seulement tout un ensemble d’hypothèses ; lorsque l’expérience est en désaccord avec ses prévisions, elle lui apprend que l’une au moins des hypothèses qui constituent cet ensemble est inacceptable et doit être modifiée ; mais elle ne lui désigne pas celle qui doit être changée » [20] Ce qui justifie la méthode déductive et qui condamne la méthode inductive, c’est la nature même de l’expérience de physique, qui substitue au fait réel observé un fait théorique : le fait expérimental n’est pas seulement constaté, il est aussi interprété, idéalisé. L’expérience a donc le pouvoir de confirmer une théorie, mais pas celui de la réfuter.

L’empirisme épistémologique accorde au contraire à l’expérience un rôle décisif : c’est la théorie de l’expérience cruciale défendue en tout premier lieu par Bacon, selon un raisonnement qui a la même structure que ce qu’on appelle raisonnement par l’absurde en mathématiques. L’expérience y est chargée de faire pencher la balance « lorsque, dans l’étude d’une nature, l’entendement est placé dans un état d’équilibre », de façon à ce que « les hommes s’habituent peu à peu à juger la nature par les instances de la croix et les expériences lumineuses, et non point par des raisons probables » [21] Ainsi l’expérience se voit-elle conférer le pouvoir, non plus de vérifier, mais, à l’inverse, de réfuter une théorie. C’est ce qu’exprime aussi Popper, qui affirme la possibilité d’expériences cruciales réfutantes. Ainsi fait-il même de la « falsifiabilité » le critère même de l’énoncé scientifique : « c’est la falsifiabilité et non la vérifiabilité d’un système, qu’il faut prendre comme critère de démarcation ». Popper, Logique de la découverte scientifique, Payot, 1978, p.38. Dans le manuel, texte pp. 382-383 (Karl Popper, philosophe et épistémologue autrichien ; 1902-1994 lien : http://fr.wikepedia.org/wiki/Karl_Popper

III. Les mathématiques, modèle démonstratif du savoir ?

a) Outil de connaissance ou structure de l’être ?

Ce que Bachelard appelait le rationalisme de la physique est une illustration de l’application, dans le champ des sciences de la nature, de la méthode hypothético-déductive : la démonstration y reste toujours logique, l’expérimentation n’en étant que l’instrument. L’intuition est première, et de la série d’axiomes qu’elle fournit, on « tire ensuite les conséquences par une démarche purement logico-déductive et de façon aussi complète que possible ». Est-ce à dire que les mathématiques fonctionnent comme modèle des autres sciences, et la démonstration mathématique comme modèle de toute démonstration ? Encore faut-il savoir si la notion de modèle doit se prendre ici au sens de modèle d’intelligibilité, ou bien au sens du modèle normatif.
Dans le premier sens, les mathématiques ne sont qu’un outil éclairant qui doit être confiné à un rôle second, en raison même de son utilité, qui ne saurait manquer de lui inspirer de l’impérialisme. On ne sera pas surpris de trouver un tel raisonnement sous la plume du théoricien de l’expérience cruciale : « il nous a paru convenable, vu la grande influence des mathématiques, soit dans les matières de physique et de métaphysique, soit dans celles de mécanique et de magie, de les désigner comme un appendice de toutes et comme leur troupe auxiliaire » [22] En un second temps, l’outil mathématique fournit la norme de toute science : à la fascination de Socrate pour les Pythagoriciens (« Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre »), pour leurs analogies et subdivisions, répond comme en écho la confiance vouée par Descartes en l’ordre exemplaire des mathématiques. Ainsi les chaînes de raison des géomètres lui donnent-elles l’idée que « toutes les choses, qui peuvent tomber sous la connaissance des hommes, s’entre-suivent en même façon » [23]. Voici les mathématiques érigées en idéal du savoir : « la méthode qui enseigne à suivre le vrai ordre […] contient tout ce qui donne de la certitude aux règles d’arithmétique »
Dès lors, d’outil du savoir, les mathématiques ne peuvent-elles se muer en structure même du réel ? C’est toute l’ambiguïté de la position galiléenne : si le livre de la nature est écrit en caractères géométriques, faut-il considérer les mathématiques comme un outil d’accès au monde, ou comme la texture de toute réalité ? La révolution galiléenne a précisément consisté en ce que le point de vue adopté sur les phénomènes naturels n’est plus celui d’une construction, mais d’une reconstruction géométrique : le langage mathématique n’est plus extérieur au monde, il en est devenu la structure. Cette mathématisation du réel aboutit à la subordination aux mathématiques de toutes les autres sciences, comme d’autant de parties de ce que Descartes appelle Mathématique universelle (mathesis universalis).

b) Les incertitudes mathématiques

Qu’adviendrait-il alors si ce modèle démonstratif se révélait plus incertain qu’il n’avait d’abord paru ? Les axiomes sur lesquels se fonde l’évidence d’un système hypothético-déductif sont-ils vrais séparément et distinctement, ou bien font-ils système au point de dépendre à leur tour des déductions qui ont été tirées d’eux ? Si axiomes et déductions deviennent interdépendants par effet de système, alors plus rien (d’autre que des nuances syntaxiques) ne sépare axiome et postulat, et toute axiomatique devient tautologique et tourne à vide. C’est tout le sens du travail de Wittgenstein, qui a montré que les vérités mathématiques et logiques ne sont jamais que des tautologies, ouvrant la voie au positivisme logique, qui reconnaît que ces propositions ne nous apprennent rien sur le monde.Pire encore : si le seul critère de vérité réside dans la non-contradiction interne du système, alors la valeur des démonstrations qui en sont issues se trouvaient grandement fragilisée par l’impossibilité de démontrer l’absence de contradiction. Or on sait que Gödel a montré la limite structurelle de la déduction : son théorème d’incomplétude démontre qu’il n’est pas possible d’établir que les axiomes de l’arithmétique n’entraînent pas de contradiction. Cela ne signifie pas pour autant qu’une contradiction fondamentale menace la théorie des ensembles : mais cela signifie que l’absence de contradiction n’est qu’une constatation peut-être provisoire.
Cette incertitude ne peut manquer de trouver son écho du côté des sciences de la nature, mathématisées par la révolution galiléenne. En effet, certains phénomènes sont indéterminables. Heisenberg l’a illustré dans ses relations d’incertitude (Cf. lien :http://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_d’incertitude , en montrant qu’à l’échelle microscopique, on ne peut déterminer à la fois la position et la vitesse d’une particule, la certitude sur la première créant autant d’incertitude chez la seconde. Cela ouvre la voie à l’idée selon laquelle l’observateur influe sur ce qu’il observe, parce « qu’à l’intérieur d’un système de lois qui sont basées sur certaines idées fondamentales, seules certaines manières bien définies de poser les questions ont un sens » [24]

c) Toute démonstration n’est-elle que raisonneuse ?

Ainsi, puisque des lois différentes, du moment qu’elles sont non-contradictoires, peuvent être appliquées à un même fait physique, le caractère formel d’une logique de non-contradiction, et son décalage avec le réel, ne peuvent que réapparaître. Hegel a bien montré la fécondité de la contradiction, rejetant la non-contradiction du côté de la logique d’entendement, qui n’est que raisonneuse. Ainsi la vérité reconnue d’un théorème géométrique est une « circonstance surajoutée », qui « ne concerne pas son contenu, elle concerne seulement sa relation au sujet connaissant » [25]. Le caractère démonstratif ne concerne ainsi que la forme de ce savoir et non sa matière : « dans la connaissance mathématique la réflexion est une opération extérieure à la chose ; de ce fait, il résulte que la vraie chose est altérée » En rester à une logique de la non-contradiction et du tiers-exclu, c’est se condamner à l’arbitraire des commencements et à l’équivocité formelle des résultats.


TEXTES

Seule une preuve apodictique, en tant qu’elle est intuitive, peut s’appeler démonstration. L’expérience nous apprend bien ce qui est, mais non que ce qui est ne puisse pas être autrement. Aussi les arguments empiriques ne peuvent-ils fournir aucune preuve apodictique. Mais la certitude intuitive, c’est-à-dire l’évidence, ne peut jamais résulter de concepts a priori (dans la connaissance discursive), quelque apodictiquement certain que puisse être, d’ailleurs, le jugement. Il n’y a donc que la mathématique qui contiennent des démonstrations, parce qu’elle ne dérive pas sa connaissance de concepts, mais de la construction de concepts, c’est-à-dire de l’intuition qui peut être donnée a priori comme correspondante aux concepts.
KANT, Critique de la raison pure, Quadrige, PUF, p.505.

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Inférer est tirer une proposition comme véritable d’une autre déjà avancée pour véritable, en supposant une certaine connexion d’idées moyennes ; par exemple, de ce que les hommes seront punis en l’autre monde on inférera qu’ils se peuvent déterminer ici eux-mêmes. En voici la liaison : Les hommes seront punis et Dieu est celui qui punit ; donc la punition est juste ; donc le puni est coupable ; donc il aurait pu faire autrement ; donc il [y] a liberté en lui ; donc enfin il a la puissance de se déterminer. La liaison se voit mieux ici que s’il y avait cinq ou six syllogismes embrouillés, où les idées seraient transposées, répétées et enchâssées dans les formes artificielles. Il s’agit de savoir quelle connexion a une idée moyenne avec les extrêmes dans le syllogisme : mais c’est ce que nul syllogisme ne peut montrer. C’est l’esprit qui peut apercevoir ces idées placées ainsi par une espèce de juxtaposition, et cela par sa propre vue.
LEIBNIZ, Nouveaux Essais sur l’entendement humain, IV, 17.

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Les premières démonstrations [ d’Euclide] sont presque toutes des pseudo-démonstrations qui masquent l’appel à des postulats implicites dissimulés dans des recours à l’intuition. C’est ainsi que Bertrand Russel, ayant analysé les vingt-six premières démonstrations des Eléments, y révèle presque autant de cercles vicieux. Ceux-ci commencent dès la première proposition à démontrer : « sur une base donnée, construire un triangle équilatéral ». Pour résoudre ce problème, qui est un théorème d’existence adjoint à la définition nominale du triangle équilatéral, Euclide, de chacune des extrémités de la base, décrit un cercle ayant pour rayon la longueur même de cette base. Il suit alors, à l’inspection de la figure, que les deux cercles intersectent. Comme, en vertu du premier postulat des Eléments, deux points déterminent une droite, on peut joindre l’un des points d’intersection aux extrémités de la droite donnée, de façon à obtenir un triangle qui satisfasse aux conditions du problème. Le vice de cette démonstration consiste en ce qu’il n’est nullement nécessaire que les deux cercles intersectent.
ROUGIER, Traité de la connaissance, Gauthiers-Villars, 1955, p.87.

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[1Blanché, La Logique et son histoire, U Colin, 1970, p.81

[2Aristote, Métaphysique, Gamma 3, 1005 a 20

[3Kant, Critique de la raison pure, PUF Quadrige, p.77

[4Hamelin, Le Système d’Aristote, Vrin, 1985, pp.92-93

[5Proême du commentaire sur les livres de l’art logique, BN du Québec, 1978, PP.197-198. Guillaume d’Ockham ou Occam, théologien et philosophe anglais de langue latine (vers 1285- vers 1347)Chez Ockham, le nominalisme s’accentue : non seulement les universaux (genres, espèces, différences) n’ont pas d’existence réelle (in re) - saint Thomas d’Aquin l’enseignait déjà-, mais même les idées individuelles sont sans réalité. Dès lors, les mots sont des abstractions conventionnelles n’impliquant aucune essence de la chose. D’Ockham rompt ainsi avec l’idéalisme thomiste (de Thomas d’Aquin) et aristotélicien, pour lequel un intermédiaire intelligible entre la chose et la pensée est nécessaire à toute comrpéhension intellectuelle ; il remet en question tout l’édifice d’abstractions qui, au XIIIe siècle, reposait sur le rapport établi entre intellect agent et espèce intelligible. Pour Ockham, il n’y a d’existence réelle que celle des individus, comme tels, dans leur pluralité indépassable. Cela ne veut pas dire que rien n’est intelligible : les mots ont bien un sens, mais en tant qu’ils établissent un rapport à des choses réelles. L’intelligble n’est pas ailleurs que dans l’activité de l’âme, ou de l’entendement. Car si l’âme est bien une substance, il ne saurait y avoir en elle d’autres substances. La connaissance a intérêt à retrancher tout concept superflu ; c’est ce principe d’économie qui a donné l’expression métaphorique "rasoir d’ockham"

[6Aristote, Métaphysique, Gamma 4, 1006 a 5-7, tome 1, Vrin, 1981, pp.197-198

[7Autant dire des définitions déguisées, comme le dirait Poincaré (Henri, mathématicien français(1854-1912)

[8PLaton, La République, VI, 511 b, "Folio Essais", Gallimard, 1993, p.354

[9Blanché, L’Axiomatique, PUF, 1967, p6

[10Leibniz, Nouveaux Essais sur l’entendement humain(1765), préface, GF-Flammarion, 1966, p.35

[11Platon, La République, 510 d, pp.353-354

[12Bourbaki, L’Architecture des Mathématiques, Cahiers du Sud, 1948, p.14 Nicolas Bourbaki, mathématicien de langue française qui a entrepris de publier, depuis 1940, un traité intitulé Eléments de mathématique. Ces Eléments sont censés prendre la mathématique à son début, du moins sur le plan logique. Ils sont donc, en principe, accessible à un lecteur n’ayant aucune connaissance mathématique particulière. Le mode d’exposition est axiomatique et systématqiue, ce qui fait que l’ouvrage doit servir aux fondements effectifs de la mathématique et devenir un ouvrage fondamental de référence pour tous les mathématiciens.

[13Descartes, Discours de la méthode

[14Descartes, Règles pour la direction de l’esprit, III, Vrin, 1970, p.14

[15Arnaud et Nicole, La Logique ou l’Art de penser, Champs Flammarion, 1970, p.368. Nommée aussi Logique de Port-Royal : Port-Royal, abbaye des environs de Paris ; elle fut, au XVIIe siècle le lieu de deux grandes entreprises de pensée : le jansénisme (dont Pascal fut le plus illustre représentant) et le travail connu sous le nom de Logique de Port-Royal. C’est également le titre de l’ouvrage composé par Antoine Arnauld (philosophe théologien, mathématicien et grammairien français ;1612-1694) et Pierre Nicole (théologien et moraliste français ;1625-1695) en 1662. D’inspiration aristotélicienne, avec des éléments importés de la philosophie de Bacon (156161626) et de Descartes (1596-1650), ce livre est, avec l’Organon d’Aristote (384-322) le plus important de la logique classique avant la mathématisation de cette discipline au XIX e. La première partie traite des idées, la deuxième du jugement(relation entre les idées), la troisième du raisonnement(relation entre les jugemenst) et la quatrième de la méthode. Ni réaliste, ni empiriste, la Logique de Port-Royal défend un point de vue conceptualiste : c’est par abstraction que l’âme forme les idées qui ne sont pas déjà contenues en elles. Attentive aux manières communes de parler, cette logique est également une grammaire.

[16Crucial ( du latin crux"croix") 1. En forme de croix. 2. Situé à un croisement ; d’où, par métaphore, et par extension, important, décisif, capital. Expérience cruciale(traduction de l’expression latine utilisée par Francis Bacon instantia crucis, les "exemples de la croix", par allusion aux poteaux indicateurs des carrefours : a) nom donné par Francis Bacon (homme politique et philosophe anglais(1561-1626) aux expériences permettant de reconnaître, entre plusieurs causes possibles, laquelle est véritable ; lorsque l’esprit hésite entre deux causes, l’expérience cruciale permet de trouver un cas qui élimine ou qui, au contraire, désigne clairement l’une d’entre elles ; b) par extension, nom donné à toute expérience décisive susceptible de trancher en faveur ou non d’une hypothèse (ex. l’expérience de Michelson-Morley est cruciale en ce sens qu’elle a définitivement récusé l’hypothèse de l’éther comme milieu de transmission universelle des ondes électromagnétiques Vous trouverez une exposition détaillée de cette expérience avec plein de schémas savants : lien : http://www.ac-nantes.fr:8080/peda/disc/scphy/dochtml/foucault/michelso.htm). Pierre Duhem(physicien et épistémologue français ; 1861-1916) a contesté l’idée d’expérience cruciale en montrant qu’une expérience en physique n’avait jamais de sens ponctuel (thèse dite de Duhem-Quine, caractéristique du holisme épistémologique) : ce n’est jamais une proposition isolée qui subit l’épreuve de l’expérience mais un système complet de propositions -dont on ne peut jamais par définition démontrer la fausseté. Par ailleurs, même en admettant que l’expérience est en mesure de démontrer la fausseté d’une théorie, rien ne garantit pour autant que la théorie rivale soit vraie : il se peut que celle-ci soit également erronée.

[17Canguilhem, La Connaissance de la vie, Vrin, 1989, p.31 ( philosophe et épistémologue français ; 1904-1995)

[18Einstein, Oeuvres choisies, vol. 5, Seuil, CNRS, p.94 (physicien américain d’origine allemande ; 1879-1955)

[19Bachelard, philosophe et épistémologue français ; 1884-1962

[20Duhem, La Théorie Physique, Vrin, 1989, p.284

[21Bacon, Novum Organum, II 36, PUF, 1986, p.255

[22Bacon, De Dignatate et augmentis III, 6, p. 103

[23Descartes, Discours de la méthode, GF Flamamrion, 1966, p.47

[24Heisenberg, Philosophic Problems of Nuclear Science, cité par Arendt in La Crise de la culture, Gallimard folio-essais, 1972, p.67.

[25Hegel, Phénoménologie de l’Esprit, préface, Aubier, 1941, p.36


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