LES MATHEMATIQUES

Rigueur, cohérence mais...vanité ? Le point sur "les" mathématiques et la question de la vérité
dimanche 1er avril 2007
par  Lydia COESSENS

LES MATHEMATIQUES

La réflexion sur les mathématiques constitue une étape de la réflexion sur la vérité. En effet, on a pu dire des mathématiques qu’elles «  ont fait luire aux yeux des hommes une autre norme de vérité » (Spinoza). C’est dans le domaine des mathématiques que les hommes ont pu apprendre ce qu’est un raisonnement.
De nos jours elles sont toujours « la reine des sciences » à tel point qu’une autre science (comme la physique) ne semble scientifique que dans la mesure où elle se conforme au modèle des mathématiques.
Mais, inversement, on a pu leur reprocher de n’être qu’une discipline gratuite, un jeu vide. C’est la seule science qui ne nous apprenne rien sur le monde qui nous entoure.
Ambiguïté des mathématiques à la fois domaine du raisonnement pur (vérité) et pourtant connaissance inutile…

I. LA NATURE DE L’OBJET MATHEMATIQUE

1. Un être idéal
Lorsqu’un géomètre fait une démonstration sur, par exemple, un cercle, il appuie sa démonstration par une figure. Mais sa démonstration ne porte pas sur cette figure. Pour que son raisonnement ait une valeur, il doit porter sur le « cercle en soi », sur l’idée de cercle, pas sur le cercle qu’il a dessiné.
Si on veut trouver le rayon d’un cercle dont on connaît la superficie, il y deux manières de procéder.
· Soit on dessine un cercle qui ait la surface requise et on mesure son rayon : c’est la méthode empirique, approximative (le cercle n’aura jamais la superficie requise, on mesure le rayon avec une certaine marge d’erreur, etc.), qui vaudra pour ce cercle-ci, pas pour un autre.
· Soit on construit l’idée de cercle dans sa tête et on cherche le rapport qui peut exister entre rayon et superficie (S=pi R²). Ce calcul aura une valeur générale (valable pour tous les cercles) et sera exact. Pour le géomètre, il n’y a qu’un seul cercle, c’est l’idée de cercle qui contient en elle tous les cercles possibles, c’est un cercle sans diamètre précis mais qui contient tous les diamètres possibles. Le diamètre n’est pas autre chose qu’un rapport avec la circonférence.
On peut donc dire que l’objet mathématique est un être idéal, même si le géomètre trace des figures pour illustrer son raisonnement, il ne raisonne pas d’après ce qu’il voit sur cette figure. La figure sensible du cercle n’est pas le vrai cercle. Le cercle n’existe vraiment comme cercle qu’en idée. On retrouve donc la conception idéaliste platonicienne.

Ils (les géomètres) se servent de figures visibles et ils raisonnent sur ces figures, quoique ce ne soit point à elles qu’ils pensent, mais à d’autres auxquelles celles-ci ressemblent. Par exemple c’est du carré en soi, de la diagonale en soi qu’ils raisonnent, et non de la diagonale telle qu’ils la tracent, et il faut en dire autant de toutes les autres figures. Toutes ces figures qu’ils modèlent ou dessinent, qui portent sur des ombres et produisent des images dans l’eau, ils les emploient comme si c’étaient aussi des images, pour arriver à voir ces objets supérieurs qu’on n’aperçoit que par la pensée.
Platon, République VI (510c - 510e)
(=logique mimétique platoncienne)

Sens du texte : opposer au cercle que l’on dessine, le vrai cercle, celui sur lequel porte la démonstration, et dont le premier n’est que le reflet lointain, sensible.

Retenir que les mathématiques sont le domaine du raisonnement pur. On commence par ne pas tenir compte de ce qu’on voit (élimination de l’intuition sensible) pour ne plus considérer que l’idée abstraite.

2. … mais réel

Mais que les êtres mathématiques (nombres, figures, …) soient des idées ne veut pas dire qu’ils ne sont que des productions de l’esprit, qu’on peut les changer à son gré. Les êtres mathématiques ont ceci de particuliers que tout en étant des « idées », ils n’ont rien de psychologique ou de subjectif.
Le paradoxe, c’est que, alors même qu’on ne les voit jamais, qu’on ne les rencontre jamais dans le monde sensible, ils n’en sont pas moins réels… On rencontre bien trois arbres mais pas le nombre trois, on rencontre des arbres. Comment peut-on dire que ces idées soient douées de réalité ?
Si j’affirme que « la dixième décimale de pi est un nombre impair », il suffit de faire le calcul pour vérifier si c’est vrai ou faux. Si j’affirme que « la dix-milliardème décimale de pi est un nombre impair », même si personne, aucun ordinateur ne l’a encore calculé, cette proposition est pourtant dès maintenant soit vraie soit fausse. Simplement, je l’ignore.
Quel est le sens de cet exemple ? : C’est que le mathématicien, dans son travail, découvre progressivement une réalité préexistante, il n’invente rien. De tout temps, la dixième ou dix-milliardème décimale de pi était ce qu’elle est, même si personne n’en savait rien. En ce sens, les objets mathématiques sont doués de réalité : leurs caractéristiques et leur existence ne dépendent en rien de l’esprit humain qui les conçoit (on ne peut pas dire n’importe quoi à leur sujet). Ils existent avant nous, sans nous.
C’est pourquoi tout mathématicien est un platonicien : il parle d’une réalité des Idées. A tel point que Platon voyait dans les mathématiques une introduction à la dialectique : elles nous apprennent qu’il n’y a que les Idées qui aient de la réalité. Au fronton de son école était gravée la devise : « Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre ».

Les êtres mathématiques sont donc des idées mais douées de réalité. Elles sont mêmes en un sens plus réelles que ce qu’on désigne couramment comme le réel : elles sont inaltérables, éternelles, alors que dans le monde sensible, tout finit par disparaître ou passe dans son contraire (le chaud devient froid, le vivant devient mort, etc.)

II. LA DEMONSTRATION MATHEMATIQUE

Une démonstration, en général, est un raisonnement contraignant pour l’esprit. C’est-à-dire que si on accepte les prémisses, on est obligé d’accepter la conséquence. Mais les mathématiques font une utilisation spécifique de la démonstration par rapport à la logique, qui est réellement la science de la démonstration, un « art de raisonner ». Une démonstration en géométrie ne consiste pas simplement à enchaîner des propositions. C’est en même temps développer les caractéristiques de l’objet dont on parle, c’est découvrir toutes ses propriétés, enrichir le concept de l’objet en question.
Autre spécificité : il est possible d’enchaîner toutes les démonstrations en un seul système. C’est pour cela que Descartes y a vu un modèle de science : alors que toutes les autres connaissances humaines sont dans un état de désordre consternant, les mathématiques proposent des connaissances strictement enchaînées les unes aux autres. On peut partir de propositions simples, en déduire certaines conséquences, qui permettent de passer à d’autres connaissances. Tout le problème de la méthode sera de trouver le bon point de départ à partir duquel commencer. La connaissance à un ordre : un commencement et une fin.

1. L’enchaînement des démonstrations en une axiomatique.

Euclide le premier a tenté une telle présentation systématique de toutes les connaissances mathématiques de son temps. Il les a rassemblées selon un certain ordre : du plus simple au plus complexe. Principe de base : avant d’admettre un théorème quelconque, il faut avoir démontré tous les théorèmes auquel il a lui-même recours.
Ce qui est remarquable, c’est que Euclide a ainsi pu démontrer les unes par les autres toutes les propositions de la géométrie, sauf certaines propositions de base.
Parce que ce sont des propositions premières, à partir desquelles on va pouvoir démontrer les autres, elles sont elles-mêmes indémontrables. Il n’y a pas de propositions plus simples à partir desquelles on pourrait les démontrer.

Ces propositions premières qu’on appelle également « indémontrables » peuvent être de trois types : définitions, axiomes ou postulats.
Isoler ces propositions premières à partir desquelles tout le reste va s’enchaîner, c’est ce qu’on appelle « axiomatiser ». Et ces premières propositions contiennent déjà implicitement toute la suite des démonstrations.

2. Les définitions

Les définitions sont indémontrables parce que ce sont des hypothèses de départ.
Exemples de définition :
· Soit ce qui n’a ni longueur ni largeur et que j’appelle « point »
· Soit ce qui a longueur mais n’a pas largeur et que j’appelle « droite »
· Soit ce qui a longueur et largeur et que j’appelle « plan »
On voit donc que les définitions en géométrie se passent toujours en deux temps : on pose un « être » (ce qui n’a ni largeur ni longueur, par exemple) puis on lui attribue un nom.
Les définitions géométriques n’ont rien à voir avec les définitions qu’on peut trouver dans un dictionnaire. Dans un dictionnaire les définitions renvoient les unes aux autres (renvoi à l’infini). Ce sont des définitions purement nominales : elles donnent le sens d’un mot, en décrivant ce à quoi elles renvoient. Les définitions géométriques au contraire sont dites « réelles » : elles donnent l’essence de la chose, son caractère déterminant. On dit également qu’elles sont « génétiques » : elles engendrent la réalité qu’elles définissent. Par exemple, la définition « longueur sans largeur » crée un certain être mathématique qui a certaines propriétés, ce n’est pas le même être que celui qui est défini comme « le plus court chemin entre deux points », qui aura d’autres caractéristiques. Alors que dans le dictionnaire on peut donner différentes définitions, aussi valables les unes que les autres, de la même réalité, en géométrie, ce ne serait plus la définition de la même chose. Pourquoi cela ? Parce que la définition du dictionnaire est là pour rendre compte d’une réalité préexistante, elle ne peut au fond que décrire ce qui est déjà là, elle doit « coller » à la réalité en question. La définition géométrique, au contraire, n’a pas à se calquer sur une réalité préalable : elle engendre cette réalité, c’est elle qui la crée.
« En philosophie, la définition (…) doit plutôt terminer que commencer l’ouvrage. Dans la mathématique, au contraire, nous n’avons aucun concept qui précède la définition, puisque c’est par elle que le concept nous est d’abord donné »
« Les définitions mathématiques ne peuvent jamais être fausses, car puisque le concept est d’abord donné par la définition, il ne contient que ce que la définition veut que l’on pense par ce concept »
Kant, Critique de la raison pure

3. Axiomes et postulats

Les axiomes sont des principes généraux, des vérités évidentes. Exemple : « le tout est plus grand que la partie » ou « si à des grandeurs égales on ajoute des grandeurs égales, les touts seront égaux »…
Il s’agit donc de vérités générales, évidentes et indémontrables.
Les postulats ressemblent aux axiomes mais il y a des différences profondes. Ex : « tracer une droite » ou « dessiner un cercle » : ce qu’on nous demande de faire ou d’admettre. Mais il y a un postulat célèbre entre tous : le fameux cinquième postulat : « soit une droite qui tombe sur deux droites. Les deux droites vont se rencontrer du côté où les angles intérieurs sont inférieurs à deux angles droits » Formulation moderne : « par un point extérieur à une droite, on ne peut tracer qu’une seule droite parallèle à la première »
Cette proposition ressemble à un théorème non encore démontré…Euclide a essayé en vain de le démontrer, n’y arrivant pas, il nous demande de l’admettre. Et depuis Euclide, des générations de géomètres se sont ingéniées à essayer de le démontrer.
Il nous semble évident que par un point extérieur à une droite, on ne peut tracer qu’une seule parallèle, il suffit de prendre une règle et de faire le teste. Oui, mais il faut encore le démontrer. Le géomètre doit démontrer toutes les propositions qu’il utilise, il ne peut justement pas s’en remettre à l’intuition sensible.

RETENIR : Les axiomes sont des vérités générales valables quel que soit le domaine (géométrie, physique, économie) alors que les postulats de la géométrie ne sont valables qu’en géométrie.
Les axiomes sont des vérités indémontrables car évidentes alors que les postulats sont des propositions non encore démontrées.

CONCLUSION : toute la géométrie d’Euclide, toutes ses démonstrations sont implicitement contenues dans sa base axiomatique (définitions, axiomes, postulats). Les démonstrations auxquelles on peut accéder à partir de là consistent uniquement à développer les conséquences implicites, les unes après les autres. Mais tout est déjà donné dès le point de départ.
C’est en ce sens que la géométrie est un système hypothético-déductif : on ne fait que déduire tout au long les conséquences de certaines hypothèses de départ. A tel point que le mathématicien Hilbert s’est écrié un jour : « il n’y a pas de différence entre un mathématicien qui dort et un mathématicien qui travaille ! ». C’est-à-dire que ce n’est pas le mathématicien qui « fait », qui « invente » les mathématiques : ce sont les mathématiques qui se font toutes seules, elles se pensent elles-mêmes en lui, presque sans lui. Son seul rôle est de dérouler la suite des théorèmes.

III. LES GEOMETRIES NON-EUCLIDIENNES

Reste le problème du cinquième postulat qu’on s’acharne à vouloir démontrer. D’une tentative à l’autre, il a bien fallu se rendre à l’évidence : ce postulat est indémontrable. Bien plus, on peut admettre d’autres postulats (soit que par un point extérieur à une droite ne passe aucune parallèle, soit qu’il en passe plusieurs) et du coup, on arrive à d’autres géométries que celle d’Euclide : des géométries non-euclidiennes.

1. Les précurseurs

On peut retenir une tentative assez significative : celle du mulhousien Lambert (fin XVIIIè). Il a essayé de démontrer ce cinquième postulat par l’absurde.
Démonstration par l’absurde : on peut démontrer indirectement une proposition en montrant que si elle n’est pas vraie, cela entraîne une contradiction.
Lambert a donc développé une géométrie en partant de la même base axiomatique que celle d’Euclide en changeant juste le cinquième postulat, en espérant bien arriver à une contradiction. Il lui fallut beaucoup de temps avant d’en arriver à la contradiction tant attendue. Mais il avait commis une erreur de raisonnement. A un moment, en effet, il a fait intervenir le théorème selon lequel tous les angles d’un carré sont égaux. Or ce théorème n’est qu’une conséquence du cinquième postulat qu’il cherchait à établir. Ce qui a fait rater à Lambert la découverte des géométries non-euclidiennes, c’est qu’il n’a jamais remis en cause l’idée de la « vérité » de la géométrie classique. Contrairement à ses deux successeurs Riemann et Lobatchevski.

2. Riemann et Lobatchevski

Riemann prit comme postulat que par un point extérieur à une droite ne passait aucune droite parallèle à la première et Lobatchevski qu’il en passait plusieurs, voire une infinité.
Comme on ne peut pas démontrer combien de parallèles passent par un point et qu’on ne peut pas se reporter à l’expérience sensible, ces postulats sont mathématiquement tout à fait justifiés que le postulat d’Euclide.
Ils ont développé deux nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mathématiquement aussi valables que celle d’Euclide. La différence principale est que ces deux géométries supposent des plans courbes.

3. Conséquences

Les géométries non-euclidiennes sont des géométries tout autant que la géométrie euclidienne. Une théorie mathématique est vraie à partir du moment où elle est cohérente : les théorèmes sont correctement déduits les uns des autres.
Du point de vue de leur application à la nature, on reproche aux géométries non-euclidiennes de ne pas être adéquates. En fait, on s’est rendu compte qu’elles sont même parfois davantage « applicables » dans la nature ! Par exemple, depuis la théorie de la relativité, on sait que l’espace est courbe. Tout corps, par sa masse déforme l’espace autour de lui. Simplement sur Terre, cette déformation est négligeable. Par contre, pour envoyer des hommes sur la Lune, les ingénieurs de la NASA ont du recourir à des géométries non-euclidiennes

IV. MATHEMATIQUES ET VERITE

Le rapport mathématiques/vérité est complexe. Les mathématiques peuvent être considérées comme un modèle de méthode pour la connaissance (les enchaînements) ou comme donnant un modèle d’évidence (l’intuition) et donc comme reine des sciences.

1. Les mathématiques sont un modèle de cohérence

Les mathématiques sont « toujours vraies » au sens où il n’y a pas de place pour le faux. Lorsqu’un mathématicien découvre une erreur dans ses démonstrations, c’est qu’il s’est trompé lui, en tant qu’homme, qu’il n’a pas suivi jusqu’au bout les règles de la déduction mathématique.
Elles n’ont pas à retrouver quelque chose qui leur préexiste : une définition est génétique, elle engendre une réalité. Dans les autres domaines, le faux tient à ce qui est dit et qui n’est pas adéquat avec ce dont il parle. En mathématiques, le discours semble être toujours adéquat avec le réel vu qu’il engendre ce réel.
Par ailleurs, les mathématiques sont un modèle de rigueur : rien n’ait avancé qui n’ait été rigoureusement démontré.

2. …mais on ne peut parler de vérité au sens d’adéquation.

En fait, il y a deux sens possibles de « vérité ». Pour que ce qu’on dit soit vrai, il faut que ce soit cohérent, qu’il n’y ait pas de contradiction. Et les mathématiques sont absolument vraies en ce sens. Mais ce n’est qu’une condition négative.
Il faut en plus que ce que je dis corresponde à l’état actuel des choses, qu’il y ait adéquation. : adaequatio rei et intellectus : adéquation du réel à ce qui ets dit ou pensé sur lui.
Or, en mathématique, il ne peut jamais y avoir adéquation pour la simple raison que le discours et la chose ne se distinguent pas. La seule vérité possible, en mathématiques, c’est la cohérence, la rigueur du raisonnement qui n’a jamais besoin de se confronter à une réalité extérieure pour vérifier sa véracité.

Les mathématiques sont donc bien le royaume de la vérité, une « autre norme de vérité » mais, d’une part, elles ont beau jeu de l’être (elles n’ont qu’à être cohérentes pour être vraies) et ce modèle de rigueur est inapplicable tel quel dans le réel. Enoncer une vérité mathématique revient un peu à une tautologie comme dans la phrase « je dis la vérité ». Cette phrase n’est ni vraie ni fausse, elle manque simplement d’un référent pour être susceptible de vérité ou d’erreur.

3. Que faire des mathématiques ?

Est-ce que cela veut dire que les mathématiques sont inutiles ?
On pourrait dire qu’elles restent un modèle mais ce modèle reste un simple modèle idéal inapplicable dans le monde réel. La simple cohérence n’est pas la vérité qu’il faut pour la connaissance de la nature, c’est une vérité vide qui demande encore à être appliquée : en physique, par exemple. La physique est devenue réellement une science au XVIIè siècle par l’utilisation des mathématiques comme outil.
Elles gardent une valeur indiscutable de formation intellectuelle. Elles sont une école de rigueur pour l’esprit. Mais comme le montre Platon dans l’allégorie de la caverne, les mathématiques ne sont qu’une introduction à la véritable science qui est la dialectique. La dialectique consiste, par raisonnements, à remonter vers des définitions. Et ces définitions n’auront aucun caractère hypothétique. Les dialogues platoniciens qui commencent par la recherche de l’essence de la justice, du bien, …soit des recherches de définitions. La différence, c’est que les mathématiques descendent, à partir d’une hypothèse de départ, la chaîne des raisonnements, sans jamais pouvoir fonder ces hypothèses. La dialectique consiste à remonter des objets connus, sensibles, vers une définition vraie, donc à remonter la pente que les mathématiques descendent, et ainsi parvenir à l’anhypothétique. De même que le cercle dessiné n’est que le reflet du vrai cercle, les mathématiques ne sont que le reflet de la vraie science, la dialectique, recherche de l’essence des choses dans un dialogue.

Mais on pourrait objecter que, en physique, les mathématiques prennent un contenu, sortent de la simple cohérence.

V. LES MATHEMATIQUES COMME « LANGAGE DE LA NATURE »

La philosophie est écrite dans ce livre immense perpétuellement ouvert devant nos yeux (je veux dire l’Univers), mais on ne peut le comprendre si l’on n’apprend pas d’abord à connaître la langue et les caractères dans lesquels il est écrit. Il est écrit en langue mathématique et ses caractères sont des triangles, des cercles, et d’autres figures géométriques sans l’intermédiaire desquelles il est humainement impossible d’en comprendre un seul mot.Galilée

Toutes les lois sont tirées de l’expérience, mais, pour les énoncer, il faut une langue spéciale ; le langage ordinaire est trop pauvre, il est d’ailleurs trop vague, pour exprimer des rapports si délicats, si riches et si précis. Voilà donc une première raison pour laquelle le physicien ne peut se passer des mathématiques ; elles lui fournissent la seule langue qu’il puisse parler.H. Poincaré

Les mathématiques constituent pour ainsi dire le langage à l’aide duquel une question peut être posée et résolue.W. Heisenberg

Cette conception des mathématiques comme langage de la physique peut toutefois s’interpréter de diverses façons, suivant que ce langage est pensé comme celui de la nature, que devra s’assimiler l’homme qui l’étudie, ou à l’inverse comme le langage de l’homme, dans lequel devront être traduits les faits de la nature pour devenir compréhensibles. La première position semble être celle de Galilée ; elle est aussi celle d’Einstein :
« D’après notre expérience à ce jour, nous avons le droit d’être convaincus que la nature est la réalisation de ce qu’on peut imaginer de plus simple mathématiquement »

Ce qui est énigmatique c’est que les mathématiques s’appliquent si ben à la nature alors qu’elles ne proviennent pas de la nature. Comment comprendre cela ?
La première possibilité, c’est que la nature soit elle-même mathématisée, c’est le sens que Galilée met en formule. Elle conduit à une quasi-théologie : Dieu est géomètre. (Conception proche du pythagorisme)
En fait, cette réponse ne fait que reporter le problème : comment se fait-il qu’elle soit écrite en ce langage ?
Deuxième possibilité (Heisenberg) : la nature n’est pas en elle-même écrite en ce langage mais c’est l’homme qui la lit dans ce langage. Quel que soit le « langage » dans lequel est « écrite » la nature, l’homme ne pourra « lire » la nature qu’en passant par les mathématiques. C’est dans ce langage que l’homme se comprend le mieux lui-même, c’est là que l’intelligence est transparente à elle-même. Une formule mathématique ne dit rien d’autre que ce qu’on lui fait dire.
Les mathématiques seraient donc particulièrement adaptées pour lire la nature, non pas parce que les mathématiques seraient le « langage » naturel de la nature, mais, au contraire, parce que c’est un langage absolument conventionnel.
C’est parce qu’une formule mathématique ne veut rien dire en elle-même qu’elle peut s’adapter à tout phénomène, sans rien y introduire de plus. Elles sont le langage le plus neutre, elles ne veulent rien dire en elles-mêmes, ne sont donc jamais ambiguës.

En physique, les mathématiques jouent un rôle plus profond. Il serait en effet difficile de trouver un concept physique qui ne soit pas indissolublement associé à un ou plusieurs concepts mathématiques. Comment, par exemple, penser de façon efficace le concept de vitesse, sans faire intervenir celui de dérivé ? Comment penser « champ électromagnétique » sans penser « champ de vecteurs » ? Comment penser « principe de relativité » sans penser « théorie des groupes » ? Les mathématiques sont ainsi intériorisées par la physique. On dira que celles-là ont avec celles-ci un rapport de constitution. C’est une idée voisine qu’exprimait déjà Bachelard :
« Les hypothèses de la physique se formulent mathématiquement. Les hypothèses scientifiques sont désormais inséparables de leur forme mathématique : elles sont vraiment des pensées mathématiques. Il faut rompre avec le poncif cher aux philosophes sceptiques qui ne veulent voir dans les mathématiques qu’un langage. Au contraire, la mathématique est une pensée, une pensée sûre de son langage. Le physicien pense l’expérience avec cette pensée mathématique. »(…) Bien entendu, un concept physique n’est pas, ne s’identifie pas, ne se réduit pas aux concepts mathématiques qu’il met en jeu ; la physique ne se ramène pas à la physique mathématique. Il importe de ne pas concevoir la distinction entre un concept physique et sa mathématisation comme une simple différence statique. Un concept physique n’est pas un concept mathématique plus « autre chose ». Le concept mathématique n’est ni un squelette auquel la physique prête chair, ni une forme abstraite que la physique emplirait d’un contenu concret : il est essentiel de penser le rapport des mathématiques à la physique en termes dynamiques.

Lévy-Leblond ( scientifique et épistémologue français)

CONCLUSION

Ambiguïté profonde des mathématiques. A la fois domaine du pur raisonnement, toujours vraies, mais par là même comme coupées de la réalité.
Méthode parfaite mais inapplicable. Vérité vraie mais vide et tautologique.
A la fois norme de vérité et pourtant le plus bas degré de vérité (simple cohérence), la plus rigoureuse des sciences, mais qui n’est que rigoureuse.
Paradoxe : si les mathématiques ne peuvent être fausses, peut-on encore parler de vérité à leur sujet ?


Il s’agit là d’un cours trouvé sur K-phi (avec quelques modifications et ajouts de ma part)


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