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Mathématiques - Numération Cycle 3

Frédérique MIRGALET Cyril GIRARD

CPC St Marcellin

NUMERATION AU CYCLE 3

Toute publication de ce document est soumise à l’autorisation des auteurs. Voir mentions légales.

 

·      Domaine des entiers naturels

·      Domaine des entiers relatifs

·      Autres liens et ressources

 

·       Domaine des entiers naturels

Pour chaque obstacle repéré chez les élèves, vous sont proposées dans ce tableau des explicitations possibles et des outils ou pistes de travail.

Télécharger le doc

 

Domaine des entiers naturels

 

Obstacles repérés dans la classe

explications possibles

outils, pistes de travail

Sur les ordres de grandeur du résultat dans une opération ou dans un problème. (exemple des problèmes de  mesure avec une règle cassée)

Problème de construction du nombre, de représentation du nombre : certains enfants n’ont pas acquis la notion de nombre. Ils ne peuvent pas en avoir une représentation mentale.

(exemple de Brissiaud qui nous fait compter avec les lettres de l’alphabet pour nous mettre dans cette position)

 

Certains enfants n’ont de représentation que dans les nombres qu’ils peuvent compter, soit sur de petites quantités.

 

Certains enfants n’ont pas d’idée des ordres de grandeur par exemple dans les mesures de distance, de masse…

 

Certains enfants n’ont pas identifié la notion de cardinal et d’ordinal, or, un nombre peut servir à indiquer un élément d’une collection ou tous les éléments de cette collection.

 

Utiliser des outils de représentation des nombres. (Quitte à repasser par les buchettes !)

 

Dans la vie de tous les jours, les grands nombres sont utilisés pour des ordres de grandeur la plupart du temps. Il faut user de cette utilisation en classe (69 654 012 habitants ou 70 000 000 ?).

 

Lien avec la géographie, les sciences

Dans le passé, il a été recommandé à plusieurs reprises de disjoindre l’étude des nombres de celle des grandeurs. Ceci est un appauvrissement, et il est indispensable d’encourager la pratique systématique d’écritures telles que 2m+3m = 5m ou encore 5€ × 3 = 15€, 5m × 3m² = 15m³, 8km : 5h = 1,6 km/h, .... et pas seulement 2+3 = 5.

La mesure des grandeurs, et d’abord celle des longueurs, surfaces ou volumes, conduit naturellement aux évaluations quantitatives : cela s’étend aux durées, aux températures, aux populations et à tout ce qui concerne l’observation et l’expérimentation.

L’intuition d’une relation linéaire entre la quantité numérique et l’espace mesuré n’est pas présente chez l’enfant de huit ans, mais peut être apprise dès cet âge par des exercices de mesure et de mise en correspondance nombre espace sur une règle.

 

Travailler et expliquer la différence entre cardinal et ordinal.

 

Le calcul écrit utilise un traitement déconnecté du nombre. (on traite l’opération sur chacun des chiffres). Ne jamais oublier de vérifier l’ordre de grandeur du résultat.

 

Présenter très tôt les différentes écritures des nombres (ex de l’écriture additive en maternelle pour le rituel des absents par exemple).

 

Travail sur les décompositions et les différentes écritures du nombre

du type : 251 = 2x100 + 5x10 + 1   (pas de piège !!!)

 

 

Difficulté à écrire ou à lire les grands nombres :

mauvais groupements

3 500 000 000

à 3 500 0000

à 350 000 0

Ecriture de 654 012

à 650 412000

à 65012

à 654 1000 12

Problème de lien entre l’énoncé oral des nombres et leur écriture :

 

100 : 1 mot,   3 chiffres

200 : 2 mots, 3 chiffres

309 : 3 mots, 3 chiffres

398 : 6 mots, 3 chiffres

  97 : 4 mots, 3 chiffres

 

Problème de lecture : on lit les nombres de gauche à droite mais il faut d’abord les compter pour savoir comment commencer à les lire (de droite à gauche).

 

Il ne faut pas dissocier l’apprentissage de la numération de celui des opérations, ne serait-ce que parce que l’écriture des nombres entiers implique déjà au moins l’addition et la multiplication, et que celle des nombres décimaux implique de même la division. (98=4x20+18)

 

Outil Montessori  (étiquettes) (autres étiquettes proposées par l'académie de Rennes) qui permet :

·         Une réelle représentation des nombres.

·         De mettre en évidence la numération de position (chaque chiffre garde en lui-même sa véritable valeur : le 1 du 10, n’est jamais 1, c’est 10 dont le zéro est caché), le 0 de position prend aussi toute son importance.

·         D’apprendre les irréguliers comme 70, 80, 90, comme des nombres à part entière et non des successions de nombres (à mettre en opposition avec les systèmes de compteurs qui ne font qu’expliquer une technique et non un fonctionnement des nombres.)

 

Manipuler souvent et beaucoup.

 

Ecriture par groupement de trois qui doit être expliquée et doit faciliter la lecture des grands nombres.

 

Les tables ne sont pas mémorisées

le problème peut être lié à la mémoire de travail : en commençant l’apprentissage de la table de façon classique, on a du mal à se souvenir de la fin (les dernières tables, les derniers nombres)

 

Donne-t-on des stratégies, des outils aux élèves pour qu’ils apprennent ?

 

Les élèves savent-ils ce que veut dire apprendre ?

 

On consacre peu de temps en classe à la mémorisation

On n’apprend pas toutes les tables en entier. Par exemple, pour le 4 ce n’est pas la peine d’apprendre ce qu’il y a avant 4x4…

 

On apprend toujours simultanément les différentes représentations 6x8 et 8x6 …

On commence par apprendre la fin des tables

 

On s’entraine sur des procédures simples en variant la consigne : « décompose le nombre… » , « trouve le résultat, … » afin qu’une même opération corresponde à des situations différentes.  Ex 7 fois 8

      Quel nombre, multiplié par 7, donne 56?

      Combien de fois 8 dans 56?

      56 divisé par 8?

 

On ne les reprend pas que de façon isolée…

Le résultat doit faire partie d’une série (comptine réduite…), c’est plus facile à retrouver et à mémoriser.

 

Table d’addition :

« Calcul automatisé : apprendre la table d’addition», extrait du travail de P. Sauger et C. Pegeot (CPC St Marcellin et Bièvre-Valloir)

 

Tables de multiplications :

« Des pistes pour apprendre les tables de multiplication », par S. Levaufre (CPC Caen) d’après le travail de Charnay.

 

les élèves font des erreurs de calcul : calcul mental.

Les stratégies de l’écrit sont différentes de celles de l’oral.

A l’écrit, on utilise toujours la même procédure : on commence toujours par les unités. On traite tous les éléments comme des petits nombres de 0 à 9.

A l’oral il existe de nombreuses techniques. Celles-ci ne sont pas liées à la personne qui les utilise mais au type de calcul à faire.

 

La technique de l’écrit est souvent perçue comme plus noble, plus performante : stratégie scolaire, stratégie de grand. Or, elle est très souvent contre productive car trop couteuse en mémoire.

 

De plus, une opération posée revient à travailler seulement sur des unités.

 

On recherche l’acquisition d’automatismes, mais attention, le pire écueil à éviter est l’apprentissage de recettes calculatoires détachées de toute compréhension. La priorité doit être à l’acquisition de routines solides et bien comprises de calcul, et d’un passage fluide de ce calcul formel à l’intuition des quantités ainsi manipulées.

 

L’enseignement du calcul doit commencer par la pratique simultanée de la numération et des opérations élémentaires.

Le sens des opérations s’acquiert mieux lorsque celles-ci sont effectuées en même temps sur les « nombres concrets » (nombre de pommes, par exemple) et sur les « nombres abstrait » (nombre de fois). Cette approche permet de faire un lien immédiat avec les grandeurs du monde sensible et de faire sentir de manière quasi visuelle la nécessité qu’il y aura plus tard à introduire des nombres non entiers.

 

Il faut s’entrainer 

 

Il faut donner des points d’appui : les doubles, les moitiés, les carrés…

 

Il faut entrainer des procédures

On n’entraine pas tout azimut en proposant des opérations qui nous viennent à l’esprit.

On travaille de façon systématique sur des stratégies précises.

On travaille sur une procédure : on l’explicite, on l’entraîne, de façon à créer un automatisme. Ce n’est pas forcément un élève qui propose sa procédure, ce peut être le maître.

 

On varie la consigne, mais toujours pour une même procédure.

ex : 47-39

  combien y a-t-il de 39 à 47?

  que faut-il ajouter à 39 pour faire 47?

  quel est l’écart entre 39 et 47?

Il faut créer chez l’enfant un catalogue de procédures mobilisables à tout moment.

 

On entraine sur des batteries :

exemple : compléter un nombre où l’on passe à la dizaine sup. Trois stratégies sont possibles.

On entraîne donc sur une stratégie : je coupe le nombre en 2 

ex : 7+8= 7+(3+5)                          6+8=6+(4+4)

Puis sur une autre stratégie : je passe par  + 10 – le complément à 10) 

7+8=7+(10-2)               9+8=9+(10-2)

troisième stratégie : travail à partir des doubles

6+7=6+(6+1)

 

Il faut absolument accepter des procédures de calcul mental, même dans la résolution d’un problème écrit. L’élève ne doit pas être obligé de poser toutes les opérations. A terme, il faudrait même ne poser que celles qui ne peuvent pas être faites de tête.

 

Les élèves font des erreurs de calcul : calcul posé.

La perception du calcul posé comme un traitement de nombres à un chiffre de façon isolée entraîne parfois des stratégies de contournement de la difficulté.

Par exemple :

   3  4

-  1  8

Comme je ne peux pas faire 4 – 8, je fais 8 – 4

 

Les opérations sont mal posées. (mauvais alignement vertical)

 

Problèmes de retenues.

 

Problèmes de résultats de calcul.

 

Ne jamais perdre de vue qu’on travaille sur des nombres donc, on peut toujours anticiper l’ordre de grandeur du résultat.

 

L’apprentissage du calcul ne saurait être développé indépendamment de celui de la géométrie. Le calcul des aires de rectangles est lié de manière directe à la multiplication (par exemple).

 

Faire vérifier systématiquement un résultat de calcul par l’opération inverse ou par la calculette.

 

Il faut stabiliser, structurer, créer des routines. Ce n’est pas nécessaire que les élèves comprennent ce qui est en jeu. Certains élèves en difficulté comprendront plus tard, c’est la maîtrise de la technique qui précède alors la compréhension.

 Rien n’est premier : ni le sens, ni la technique.

 

Quand on pose des opérations, on n’a pas le droit à l’erreur. On structure la façon de poser, on donne des règles très strictes, on compte les carreaux…

On aide les élèves à réussir (ça ne sert à rien de faire des opérations fausses… on progresse quand on réussit.

On s’entraîne donc sur des opérations que l’on peut réussir… Pas de piège !!!

 

On doit doter les élèves de tous les résultats d’opérations sur les nombres de 1 à 9 sans quoi le calcul posé est IMPOSSIBLE.

 

 

 

·       Domaine des entiers relatifs

Pour chaque obstacle repéré chez les élèves, vous sont proposées dans ce tableau des explicitations possibles et des outils ou pistes de travail.

Télécharger le doc

 

Domaine des entiers relatifs

Obstacles/erreurs repérés dans la classe

explications possibles

outils, pistes de travail

Entoure le chiffre des dixièmes 364,574

La proximité orale : dizaine / dixième.

Pas de prise en compte de la virgule.

La lecture orale qui induit le problème.

L’enseignant est vigilant, il attire l’attention des élèves sur ce risque de confusion…

Ecris un nombre entre 12,5 et 12,6 : aucune réponse

 

Il faut renoncer à l’idée du nombre comme suite finie puisqu’on peut toujours intercaler un nombre entre deux nombres.

Conviction que tout nombre a un successeur.

La géométrie permet également de mettre en œuvre de manière visuelle et riche des formes originales de raisonnement et de calcul. Ainsi, la mesure des longueurs est une des voies d’accès les plus naturelles à la notion de nombre décimal.

1,54 x 1 000

= 1,54000

= 1000,54

le problème des « trucs » quand je multiplie par 1000, je rajoute trois 0 à droite.

 

12,3 <12,26

On considère qu’un nombre décimal est la juxtaposition de deux nombres d’où la comparaison terme à terme.

Théorèmes élève les plus courants :

-  le nb le plus gd est celui qui a le plus/le moins de chiffres après la virgule.

-  Quand un des chiffres a une partie décimale qui commence par un zéro, ce nombre est plus petit.

-  Le nombre le plus grand est celui qui a le plus de chiffres.

La lecture orale renforce là aussi l’enfant dans sa représentation erronée : douze virgule trois ; douze virgule vingt-six avec 26>3

Contrairement aux entiers il n’est pas possible de comparer physiquement des collections de décimaux.

Introduire les décimaux par le codage de points sur une droite. La comparaison de décimaux ainsi que le principe d’intercalation indéfinie sont facilités.

109+12,78 = 13,87

d’une façon générale : les opérations

idem entiers naturels : problème de positionnement des chiffres dans l’opération posée.

Les opérations sont menées séparément, de part et d’autre de la virgule. (comme deux entiers)

Problème de positionnement, virgule pas prise en compte.

La multiplication « grandit » toujours.

Réinvestissement jeu de carte proposé sur http://www.astro52.com/debara.htm

On pourrait surtout fabriquer d’autres cartes avec les différentes formes d’écritures décimales…

Encadrement par deux entiers

100<101,5<101

100,4<101,5<102,6

100,5<101,5<102,5

confusion : entier et « partie entière »

mauvaise représentation du nombre.

 

 

D’une façon générale les décimaux posent problème à l’élève parce que :

·         Il faut renoncer à l’idée du nombre comme suite finie puisqu’on peut toujours intercaler un nombre entre deux nombres.

·         Il n’y a plus chez les décimaux de « nombre suivant ».

·         Dans N, plus il y a des chiffres, plus le nombre est grand, ce n’est pas vrai pour D.

·         Dans N, si axb=c, on a toujours c>a et c>b, dans D ce n’est plus vrai.

·         Dans l’écriture des nombres décimaux, la symétrie ne se fait pas par rapport à la virgule mais par rapport au chiffre des unités.

·         La lecture orale des chiffres situés après la virgule ne correspond pas à la valeur des chiffres.

·         On parle de partie entière et de partie décimale, le décimal ne ferait donc référence qu’aux chiffres après la virgule, ce qui est faux. Il s’agit d’un seul et même nombre.

·         On considère qu’un nombre décimal est la juxtaposition de deux nombres. Cela est renforcé par la dénomination orale, l’usage courant des euros et centimes, mètres et centimètres et le traitement des décimaux dans les opérations.

·         La recherche a également montré que d’autres aspects de l’arithmétique ne se développent pas spontanément et nécessitent un effort d’apprentissage. La notation décimale des nombres et les fractions sont pour l’enfant des objets initialement contre-intuitifs, qui nécessitent le développement de représentations mentales nouvelles.

 

 

·       Autres liens et ressources

Sites académiques intéressants

-          Groupe Départemental Maths Science de l’Isère

-          Groupe Départemental Maths Science du Rhône

-          Calcul@tice

D’autres sites pour travailler les décimaux :

-          Fractions et décimaux

http://pagesperso-orange.fr/fabien-emprin/fractions/fractions.htm

http://pagesperso-orange.fr/blsmcpce1/nombresdecimaux.html

http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi

 

-          Logiciels gratuits :

http://pedagologic.chez-alice.fr/pages/logiciels.htm

http://astro52.com/pedagoaccueil.htm

http://www.monhebergement.fr/aelc/sharewares/deci2000.htm

 

-          Les différentes écritures d’un nombre décimal (Outil produit par l’académie de Dijon)

http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/C6MRSDI04.pdf

 


Date de création : 19/03/2010 · 13:10
Dernière modification : 02/02/2012 · 14:30
Catégorie : Mathématiques
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