Publié : 24 juin 2011
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La soustraction entre sens et technique(s)

Compte rendu d’animation pédagogique

  • 1 Descriptif de l’animation

Objectif : - déterminer comment amener les élèves à la technique opératoire de la soustraction pour qu’elle garde tout son sens.
Déroulement de l’animation :

Nous avons cherché à faire ressortir les sens privilégiés par les enseignants dans leur conception de la soustraction. Puis nous avons tenté de montrer comment cette appréciation personnelle peut restreindre les approches de situations soustractives proposées aux élèves.

Pour ce faire, nous avons relevé tous les sens de la soustraction.
En parallèle, nous avons défini une typologie de problèmes additifs et soustractifs avant de proposer la typologie développée par G. Vergnaud.

Ensuite, nous avons présenté une mise en œuvre de situations problèmes s’appuyant sur la typologie précitée et basée sur le travail de Graff, Valzan, Wozniak.
Nous nous sommes penchés sur les méthodes utilisées dans les classes en lien avec ces typologies et les IO 2008.
Les différentes techniques de la soustraction ont été étudiées et comparées.

Nous avons tenté de déterminer la plus susceptible d’être utilisée en cycle 2 et le rôle des autres en cycle 2 et 3.

Enfin, un certain nombre de situations intéressantes ont été présentées.

  • 2 Questionnement initial

Proposer trois problèmes relevant de situations soustractives utilisant les nombres 38 et 62.
Numéroter les problèmes produits par ordre de création.

  • 3 Les sens de la soustraction

Les sens relevés ont permis de mettre en exergue les sens suivants :

  • reste (enlever),
  • écart , N.B : le mot différence a été également utilisé mais après discussion nous avons conservé le mot écart en précisant que la différence est le nom que l’on donne au résultat d’une soustraction.
  • complément,
  • recul (reculer).

Par contre, nous n’avons jamais eu tous les sens à la suite du questionnement.

Le reste est le sens le plus fort ; l’écart et le complément suivent, la notion de recul n’apparaît pas régulièrement.

A l’aide de ces différents sens, une première classification incomplète des problèmes a été définie.

Un certain nombre d’exemples sont proposés dans le document sens et exemples de problèmes.

La soustraction fait partie du champ opératoire additif. En mathématiques, elle est considérée comme l’opération réciproque de l’addition.

Il faut, cependant, noter que toutes les situations ne sont pas réversibles ce qui peut créer une confusion dans l’esprit des élèves.

  • 4 Validation de la typologie obtenue

Une série de problèmes (cf.Enoncés_problèmes_additifs_soustractifs.pdf) est proposée aux équipes à partir de laquelle elles vont tester la typologie incomplète définie au point précédent.

Un constat apparaît :
certains problèmes semblent appartenir à plusieurs catégories ;
d’autres n’entrent dans aucune (rappel : les différents sens n’avaient pas été relevés !)

Ce constat a permis de faire émerger d’autres termes liés à la connaissance d’une autre typologie pour certaines équipes ou d’une terminologie usitée dans leur méthode de travail :
état initial,
état final,
transformation sont les mots qui sont le plus souvent apparus.

  • 5 Présentation de la typologie de G.Vergnaud

Les nouveaux termes, nous ont permis d’entrevoir une autre approche qui a alors été présentée comme la typologie de G. Vergnaud développée dans le cadre de recherches.

Cf. typologie_problemes_Vergnaud.pdf

Cette typologie a été utilisée dans le document d’accompagnement des programmes 2008 intitulé : Le Nombre au cycle 2
Dans l’ouvrage, « Problèmes additifs et soustractifs CP – CE1 »,
on pourra trouver et utiliser :

  • une progression est proposée sur les niveaux CP et CE1 qui peut être étendue à l’ensemble du cycle 2 (Cf. progression_programmation_pbs_additifs_soustractifs.pdf)
  • une méthode de travail en cycle 2 autour du champs additif (addition – soustraction).

Les problèmes sont classés en fonction des critères suivant :

  • état initial (ei),
  • état final (ef),
  • transformation (t+ ou t-),
  • combinaison d’états,
  • comparaison d’états (c+ ou c-),
  • composition de transformation.
  • 6 Didactique

Les points d’appuis pour « construire » la soustraction :

  • mémoriser et automatiser les tables d’addition,
  • automatiser des méthodes de calcul réfléchi,
  • maîtriser les compléments à …,
  • compter à rebours,
  • connaître les écritures soustractives (9 - 4 ; 13 – 4) : l’introduction du signe - a été faite en lien avec des situations, des problèmes soustractifs,
  • construire une typologie des problèmes soustractifs (du champ additif) à partir d’une programmation annuelle et sur le cycle structurée,
  • construire un lexique de mots liés à la soustraction (Ex. différence, écart, en plus, en moins, plus que, moins que, enlever, ôter, soustraire, reculer, avancer, supprimer, perdre, gagner …),
  • associer aux situations soustractives les trois procédures suivantes : complément à …, addition à trous, soustraction,
  • reconnaître leur équivalence.

Pour que la soustraction soit bien intégrée, il ne semble pas judicieux de commencer trop hâtivement la technique opératoire mais plutôt de laisser les enfants se confronter à des problèmes du champ additif qui pourront être résolus à l’aide des trois procédures citées précédemment : complément à …, addition à trous, soustraction ; Le signe doit être introduit en lien avec ces situations de manière à bien lui donner un sens (enlever, reculer, déterminer le complément, déterminer l’écart). Ensuite, en s’appuyant sur une très bonne maîtrise du calcul mental dans le champ additif la technique pourra être introduite.

  • 7 La soustraction dans les Instruction officielles

Socle commun - Palier 1 :

  • calculer : addition, soustraction, multiplication,
  • résoudre des problèmes simples.

Programme 2008 - Cycle des apprentissages fondamentaux

Les élèves apprennent les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction, celle de la multiplication et apprennent à résoudre des problèmes faisant intervenir ces opérations.

CP

  • Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition et commencer à utiliser celles de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 100).
  • Résoudre des problèmes simples à une opération. CE1
  • Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition et commencer à utiliser celles de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 1000).
  • Résoudre des problèmes relevant de l’addition et de la soustraction.

Les évaluations nationales CE1 / CM2

La soustraction dans les évaluations nationales : ensemble des exercices comportant des références à la soustraction et des items la nommant. (Cf ; document_evaluations_soustractions.pdf).

  • 8 Travail d’équipe autour des manuels, des fichiers élèves de l’école

L’équipe travaille autour des outils des élèves en classe et cherche les propositions de chaque fichier en terme de situations soustractives.
Elle liste les situations et relèvent les manques pour chacun des fichiers utilisés.

  • 9 Exemples de situations d’apprentissages
  • Ermel CP - Sur la piste numérique p.187(situation ordinale)
  • Ermel CP - Quadrillage bicolore p.194 (situation cardinale)
  • Calcul mental : L’enveloppe-La boîte / L’autocar / Le nombre pensé
  • Calcul réfléchi : Ermel CE1 - Utilisation d’un catalogue de résultats p.196 .
  • 10 Bibliographie
  • Problèmes additifs et soustractifs CP – CE1, Outils pour les cycles, CRDP Nord Pas-de Calais Lille, 2009 cf : fiche descriptive Sceren,
  • Le nombre au cycle 2, Sceren, CNDP - CHASSENEUIL-DU-POITOU , 2010 p.47,
  • Ermel CP,
  • Ermel CE1.

Documents joints