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Trajectoire hyperbolique

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Animation Flash
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Manipulons la figure...

L'animation montre la trajectoire d'un objet céleste entrant en interaction gravitationnelle avec un astre.

Initialement l'objet (satellite, comète,...) est très éloigné, mais en route vers l'astre attracteur (planète, étoile,...), avec un certain paramètre d'impact. L'astre est supposé beaucoup plus massif, de sorte que le mouvement peut être étudié dans son référentiel, supposé galiléen, et confondu avec le référentiel barycentrique du système objet-astre.

L'énergie potentielle d'interaction étant nulle, toute l'énergie de l'objet est à cet instant sous forme cinétique, donc positive ("état de diffusion"). La trajectoire est hyperbolique : voir cette page, ou celle-ci pour l'étude énergétique.applet

Lorsque l'objet se rapproche, il acquiert une énergie potentielle d'interaction, négative (Ep=-GMm/r). Comme son énergie mécanique se conserve, son énergie cinétique augmente, et donc aussi sa vitesse.

Après passage au "péri-astre" (point le plus proche de l'astre), la vitesse décroît, et reprend sa valeur initiale, en module, mais avec une direction modifiée. On peut visualiser le module de la vitesse et l'angle de déviation (échelle arbitraire).applet

Lorsque l'objet vient de l'infini (ce n'est pas le cas sur cette animation), la déviation est donnée par la formule de Rutherford :
D = 2 arctan(GM/v0²d)
  • G est la constante de gravitation universelle
  • M est la masse de l'astre
  • v0 est la vitesse initiale
  • d est le paramètre d'impact

On peut définir une "sphère d'interaction", volume dans lequel l'objet ressent l'interaction de l'astre, et en dehors duquel on considère que le mouvement est rectiligne uniforme. Hors de cette sphère, le problème est le même que celui d'un choc élastique. Voir aussi le dossier sur les chocs.

Manipulation

On peut modifier les "conditions initiales" : position M0 et vitesse V0.applet

Un bouton permet de démarrer ou de réinitialiser le mouvement.

Le bouton Pause permet de geler l'animation.applet

Observer ainsi l'effet de déviation dû à l'astre sur la trajectoire de l'objet. Cet effet peut être utilisé pour modifier la trajectoire d'un objet céleste : c'est le principe de l'assistance gravitationnelle.