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Un oscillateur non harmonique

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Manipulons la figure...

Cette animation montre le cas d'un oscillateur non harmonique, présentant un exemple de "bifurcation"

Un ressort de raideur k est fixé en un point P d'un axe vertical. Son autre extrémité est reliée à une masse m susceptible de glisser sans frottement sur un axe horizontal.

le système possède un seul degré de liberté, la variable de position étant l'élongation x de la masse m.

Il est possible de faire varier la hauteur du point P ou la position initiale de m : saisir ces points avec la souris et les déplacer. Un cercle rose indique la position de P telle que le ressort ne soit pas tendu lorsque la masse est au centre. Lorsque P est au centre du dispositif, on suppose qu'il ne gêne pas le mouvement de m.

Un bouton permet d'effacer les graphes, un second bouton permet de réinitialiser les positions de P et m.

3 graphes permettent d'observer :

  • la position x en fonction du temps
  • la vitesse v en fonction de la position (portrait de phase)
  • les différentes formes d'énergie en fonction de la position

Manipulation

Initialement, le ressort est tendu, et lâché sans vitesse initiale.

Observer et interpréter les différents graphes. Comparer avec l'oscillateur harmonique

  1. Les oscillations ne sont pas sinusoïdales.
  2. Le portrait de phase n'est pas elliptique : il peut se déformer en une sorte de 8 couché, et même se décomposer en deux lobes : c'est la "bifurcation".
  3. Le profil d'énergie potentielle n'est pas parabolique, et peut même présenter un maximum (équilibre instable). Lorsque P est au centre du dispositif, le profil d'énergie potentielle est formé de deux "cuvettes" paraboliques : on retrouve à droite ou à gauche le cas de l'oscillateur harmonique.

Sans intervention de l'"opérateur", l'énergie mécanique se conserve. Comment faut-il faire pour augmenter ou diminuer cette énergie ?