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Synthèse de Fourier

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Manipulons la figure...

L'animation montre une illustration du théorème de Fourier

Toute fonction périodique, de fréquence f, peut se décomposer en une somme infinie de fonctions sinusoïdales de fréquences multiples de f. Cette décomposition est la série de Fourier. Elle peut s'écrire de deux manières :

  • en mode sinus-cosinus : f(t) = a0 + S (an cos(n2pft)+bn sin(n2pft))
  • en mode amplitude-phase : f(t) = a0 + S (cn cos(n2pft+jn))

Les séries de coefficients (aj, bj) ou (cj,jj) constituent le spectre de la fonction.

Le coefficient a0 ("DC Offset") est la valeur moyenne de la fonction, car tous les autres termes sont de valeur moyenne nulle.

Les termes d'indice 1 constituent le fondamental, les autres les harmoniques.

Une fonction paire ne comporte dans son spectre que les termes en cosinus. Les bj sont tous nuls, car f(t)=f(-t).

Une fonction impaire ne comporte dans son spectre que les termes en sinus. Les aj sont tous nuls, car f(t)=-f(-t).

Les composantes du spectre sont représentées par la représentation de Fresnel : les segments rouges tournent à des vitesses multiples de celle du fondamental.

Un graphe permet de visualiser la construction du signal.

Manipulation

Le spectre est représenté par un ensemble de curseurs que l'on peut manipuler. Les valeurs s'affichent sous les curseurs.

Le bouton mode permet de choisir entre le mode amplitude-phase et le mode sinus-cosinus.

A droite, un menu permet de choisir entre plusieurs fonctions prédéfinies. Observer les spectres correspondants, et imaginer ce que l'on obtiendrait avec une infinité de curseurs.