TES : Outils mathématiques

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1) Les outils de calcul de variation

a) On utilise indifféremment le taux de variation (ou taux de croissance), le coefficient multiplicateur, ou .

b) Rappel des calculs
Le salaire de M. Raoul était de 1210 euros en janvier 2006 et de 1260 euros en janvier 2007. On appelle ici 1210 la valeur de départ (Vd), et 1260 la valeur d'arrivée (Va).

Taux de variation: t = ( - )/ = (1260 - 1210)/1210 = 0,0413 = *.
Il est habituel de présenter le résultat sous la forme d'un pourcentage. Mais dans les calculs, il faut prendre l’habitude de conserver le résultat sous la forme décimale : 0,0413 plutôt que 4,13 %

Coefficient multiplicateur: coeff = Va/Vd ; coeff= 1260/1210 = 1,043

Indice : I = (Va/Vd) x 100 soit I = x 100 ; dans l'exemple, I = (1260/1210) x 100 = 104,3
Pour le calcul de l'indice, on définit une année comme étant , en général l'année de départ de la série ; ici la base sera 2006. La valeur de la base vaut 100 par hypothèse. 104,3 est donc la valeur de l’année 2007

c) Pour passer d'un résultat à l'autre
Les règles de conversion à connaître pour passer d’un calcul de variation à l'autre sont :

A partir du coefficient A partir de l’Indice A partir de taux
I = coeff x 100 coeff = I/100 coeff = (1 + t) (a)
t = (coeff - 1) (a) t = I/100 - 1 (a) I = ( tx100 + 100) (a) ou I =( t + 100) (b)

coeff est le coefficient multiplicateur, I est l'indice, t est le taux de variation, t peut être exprimé soit en décimal (a) , soit en % (b)
Exemple : A partir du coefficient multiplicateur 1,041, je souhaite retrouver le taux de variation t ; t = (1,041-1) = 0,041 = 4,1%

Exercez vous à convertir les indicateurs dans le tableau ci-dessous
Coeff I t Coeff I t
1,25 0,67
104 20
12 800
- 15% 150%


2) taux de croissance sur plusieurs années (T)
Si une grandeur augmente de a % la première année, de b% la seconde, et de c% la troisième, son augmentation globale est de T = (1 + a%) x (1 + b%) x (1 + c%) - 1. Retenir la formule :
(1+ T) = (1 + a) x (1 + b) x (1 + c) (a, b, c et T exprimés sous forme décimale)
Le PIB a augmenté de 2% en 2002, 3,3 %* en 2003, et -1,7% en 2004. Le calcul donne :
(1+ T) = (1+0,02)(1+0,033)(1-0,017) = (1,02 x 1,033 x 0,983) = 1,0357 T = 0,0357 = 3,57 % sur .

3) TCAM, taux de croissance annuel moyen (tm)
remarque : y^n signifie (puissance n) c'est à dire yn
Cette même valeur a augmenté en moyenne de tm % par an, chaque année, pendant n année.
Ce qui revient à écrire : (1 + tm ) n = (1 + T) Dans notre exemple :
(1 + tm%) x (1 + tm%) x (1 + tm%) = (1 + T) (1+ tm) ^3 = 1,0357 (1 + tm) = (1,0357) ^1/3 (ou racine cubique) = 1,01176 Et tm = 0,01176 = 1,176 %. Le PIB a augmenté d’environ 1,2 % chaque année durant 3 ans.

Formule générale : TCAM = ((Va/Vd)^(1/n)) - 1

* Nota : se rappeler que 3,3 % = 3,3/100 = 0,033