La démonstration

Synthèse
La démonstration




Espace professeur

 

Connaissance et démonstration


Qu’est-ce que démontrer ?

Souvent, on pense « prouvé » = « démontré ». La démonstration est un type de preuve, mais pas le seul (une preuve expérimentale utilise la démonstration mais ne se limite pas à démontrer).

Beaucoup de philosophes ont misé sur la démonstration comme moyen de construire la connaissance.

On analysera l’idée que la connaissance est une croyance démontrée.

Croire/Savoir

sur croire et savoir, voir aussi la synthèse Croire, savoir, prouver

Qu’est-ce qu’une démonstration ?

Définition:

Deux sens de démonstration:

  1. Au sens faible, démontrer est pris comme synonyme d'argumenter.
  2. Au sens fort, démontrer c'est prouver qu'une conclusion découle nécessairement d'un ensemble de prémisses déjà admises comme vraies.

Ici, nous examinerons la démonstration au sens fort.

Le domaine privilégié de la démonstration est celui des mathématiques.

Analyse d’une démonstration mathématique géométrique :

Caractères de la démonstration :

1) Analyse du rôle de la figure : joue-t-elle un rôle dans la preuve ?

Universel/Général/Particulier/Singulier

2) La conclusion est nécessaire : si on accepte les points de départs, on ne peut pas refuser la conclusion. Nécessité logique de la conclusion. (cf. plus bas)

Contingent/Nécessaire/Possible

3) Selon Kant, la preuve démonstrative est synthétique, c'est-à-dire qu'elle nous apprend quelque chose sur le triangle; elle augmente notre connaissance des triangles (ce que l’on peut dire de vrai sur les triangles).

NB: Synthétique ≠ analytique : est analytique ce qui relève de la pure analyse du concept, c'est-à-dire de sa dissociation en éléments fondamentaux (triangle = figure formée de trois segments joints deux à deux ; célibataire = un individu non-marié). La démonstration est synthétique en tant qu'elle nous fait voir une propriété qu’on ne pouvait connaître par simple analyse de la notion de triangle.

Démonstration et logique 

La démonstration se distingue par le caractère nécessaire de la conclusion. Elle est une pratique qui s’appuie sur la nécessité logique.

La logique est l’étude des inférences valides : des conclusions que l’on a le droit de tirer, étant donné un ensemble de propositions de départ appelées prémisses.

Une inférence est l’acte de tirer une conclusion à partir de quelque chose.
Ex. : il y a des traces de pas dans le jardin donc quelqu’un est passé par là. Il y a de la fumée au loin donc il y a un feu.

L’art de raisonner est celui de passer de prémisses données aux conclusions légitimes par un acte d’inférence. Un raisonnement est un discours dans lequel on peut distinguer des prémisses et une conclusion, qui comporte donc un ou plusieurs actes d’inférences.

Cf. le grec logos : à la fois discours (usage du langage) et raison (usage de la logique).

Une première formalisation de la logique: la logique aristotélicienne 

L'Organon d'Aristote est une première élaboration de la logique.

Aristote s’intéresse à une forme de raisonnement qu’il appelle syllogisme. Un syllogisme est un raisonnement qui tire une conclusion de deux prémisses (des propositions posées initialement et dont on suppose la vérité) en associant deux à deux trois termes différents. L'un des terme, appelé moyen terme, est commun aux deux prémisses et sert à établir un lien entre les deux autres termes. Ce lien est affirmé dans la conclusion.

Exemple:

Première prémisse Tous les hommes sont mortels
Deuxième prémisse Or Socrate est un homme
Troisième prémisse Donc Socrate est mortel

 

  • Mortel   = Grand terme
  • Homme  = Moyen terme
  • Socrate   = Petit terme

Le syllogisme établit un lien entre le grand terme et le petit terme par l'intermédiaire du moyen terme :

Socrate (petit t.) est mortel (grand t.)

Ce qui compte du point de vue logique est la validité du raisonnement, i.e. le fait que les prémisses donnent le droit de tirer la conclusion:

SI les prémisses sont vraies, ALORS la conclusion l'est aussi.

Mais ce n'est pas à la logique d'établir la vérité des prémisses.

Il faut distinguer :

On peut faire apparaître les formes de raisonnement valide en substituant aux propositions données des variables (comme en algèbre on remplace des valeurs particulières par des lettres).

Aristote pense que l’on peut analyser les propositions en Sujet + Prédicat:

« S (sujet) est P (prédicat)  »

On affirme quelque chose de quelque chose : ce de quoi on affirme quelque chose = le sujet logique ; ce que l’on affirme de lui = le prédicat.
Aristote distingue quatre types de proposition en fonction de leur qualité (affirmative/négative) et de leur quantité (universelle/particulière):

Proposition

AFFIRMATIVE

NEGATIVE

UNIVERSELLE

Tous les chats sont des mammifères

= A

Aucun chat nest un mammifère (tous les chats sont des non-mammifères)
= E

PARTICULIERE

Quelque chat est un mammifère (un certain, au moins un …, peut-être plusieurs, mais on ne sait pas lesquels)

= I

Quelque chat nest pas un mammifère (quelque chat est un non-mammifère)

 

= O

Le "Carré du jugement" d’Aristote résume cette classification  :

Principales règles du syllogisme

  1. De deux prémisses négatives, on ne peut rien conclure
  2. De deux prémisses particulières, on ne peut rien conclure
  3. De deux prémisses affirmatives, on ne peut pas tirer une conclusion négative
  4. La conclusion suit toujours la prémisse la plus faible (négative, si l’une est négative, particulière si l’une est particulière)
  5. Le moyen terme doit être pris au moins une fois universellement
  6. Le moyen terme ne doit pas être pris en deux sens différents

Exemple :  parmi les syllogismes suivants, lesquels sont invalides? Pour le déterminer, on peut faire confiance à son intuition (souvent trompeuse!), mais on peut aussi s'appuyer sur les règles:

a/ Tous les hommes sont mortels, Socrate est un homme donc Socrate est mortel
b/ Socrate est mortel, mortel est un adjectif /donc Socrateest un adjectif
c/ Les schtroumpfs sont des mammifères, Jojo est un mammifère donc Jojo est un schtroumpf
d/ Quelque vache est verte, Marguerite est une vache donc Marguerite est verte
e/ Toutes les vaches sont des mammifères, aucun mammifère ne boit de lait /donc aucune vache ne boit de lait
f/ Aucun homme n'est immortel, Aucun immortel n'est infaillible /donc aucun homme n'est infaillible

(Réponse: a/ et e/ sont valides; b/ enfreint la règle 6; c/ enfreint la règle 5; d/ enfreint la règle 5; f/ enfreint la règle 1)

La logique contemporaine :

Plutôt que répertorier des formes de raisonnements, la logique contemporaine garde l’idée de symboliser les propositions et les manières de les combiner, mais elle développe un calcul permettant de tester la validité de n’importe quelle combinaison.

Pour cela, la logique contemporaine définit

Les connecteurs peuvent être définis en termes de valeurs de vérité en fonction des valeurs de vérité des propositions qu'ils relient:

 

Implication

si P alors Q

 

Conjonction

P et Q

 

Disjonction

P ou Q

 

Négation

Non P

P

-->

Q

 

P

&

Q

 

P

V

Q

 

~

P

V

F

V

F

V

V

F

V

V

V

F

F

 

V

F

V

F

V

F

F

F

V

V

F

F

 

V

F

V

F

V

V

V

F

V

V

F

F

 

F

V

V

F

Tables de vérité des connecteurs en logique symbolique

La logique comtemporine permet donc de traiter des formes de raisonnement autres que syllogistiques.

Exemples de formes de raisonnement valides non syllogistiques :

L’idéal rationaliste de la connaissance 

La démonstration est une mise en œuvre de la raison, i.e. faculté humaine à former des concepts et à les associer dans des raisonnements. Elle permet de dégager des vérités universelles, partageables par tous.

Rationalisme = idée que la raison est la seule (ou la principale) source de connaissance ; les sens, la perception, ne sont pas des sources fiables.

La raison permet le dépassement des sens et de l’expérience (les faits tels qu’ils nous apparaissent dans la perception). La perception permet la connaissance du particulier ; la raison permet une connaissance de propositions universelles. La perception peut être un point de départ de la connaissance: ce à l’occasion de quoi on active la raison et ce qu’elle contient; mais elle ne suffirait pas à la dériver toute affirme Kant.

Le modèle géométrique démonstratif est pour les rationalistes le modèle de toute connaissance : de propositions fondamentales (principes), on déduit le reste de la connaissance (conséquences). Cf.  Descartes : on peut fonder l’édifice de la connaissance par la raison.

Principe/Conséquence

Mais il est important de noter que la démonstration ne peut que transférer la vérité des prémisses à la conclusion  : si p est vrai, alors (si les règles de la logique déductive sont respectées) q l’est aussi. La démonstration n’est intéressante qu’à partir du moment où l’on possède des vérités de départ à partir desquelles augmenter la connaissance.

Cette première vérité sur laquelle se fonde toutes les autres, c'est pour Descartes le Cogito: la certitude immédiate, saisie immédiatement par intuition intellectuelle, de ma propre existence comme être pensant.

Médiat/Immédiat ; Intuitif/Discursif

Limites de la démonstration comme mode de justification

Problèmes sceptiques : insuffisance de la preuve démonstrative

On a déjà vu que la démonstration pouvait garantir qu'une conclusion dérive nécessairement des prémisses, mais la vérité de la conclusion est conditionnelle à la vérité des prémisses.

La démonstration possède une force de conviction due au caractère nécessaire de la conclusion.

Convaincre/Persuader

mais à condition que la vérité des prémisses soit elle-même assurée indépendamment (Difficulté déjà vue par Aristote). Or,

On ne peut dire que toutes les prémisses sont toujours démontrées car on aboutirait

Mais s’ils existent des prémisses primitives qui ne dépendent de rien et que rien ne démontre, comment s’assurer de leur vérité ? (Si elles sont posées arbitrairement, alors elles ne sont ni vraies ni fausses).

C'est le problème des points de départ, ou des principes de la connaissance Quelles sont les vérités premières à partir desquelles le reste se démontrerait? Ce qui vient en premier dans l’ordre logique, le fondement, doit être assuré. (Cf. image de l’édifice et des fondations : le reste ne tient que si les fondations sont bonnes).
NB: ne pas confondre le problème du fondement de la connaissance avec la question de son origine.

Origine/Fondement

En particulier, les principes de la logique elle-même sont-ils démontrables ? Si oui, on a besoin de la logique pour prouver leur vérité : c’est une pétition de principe, un cercle (on affirme dans les points de départ ce que l’on veut démontrer). Si non, peut-on encore parler de « vérité logique » ?

On peut dire que n’importe quelle preuve, n’importe quelle affirmation, repose sur la logique et suppose par exemple le principe de non-contradiction :

« Aucune proposition ne peut être à la fois vraie et fausse. »

D'où vient ce principe? Est-il lui-même fondé? Tout ce que l’on peut faire est d’exhiber ce qui se passe quand on les nie.

Si l’on affirme que toute connaissance doit pouvoir être justifiée par une démonstration, on tombe dans ces impasses sceptiques.

Le recours à la notion d’intuition 

Ainsi, les principes logiques seraient connus de nous sans être pour autant prouvés par l’expérience, car toute preuve les présuppose. Comment cette connaissance est-elle possible?

Le recours à la notion d’intuition est une réponse à l’argument sceptique.

Intuitif/Discursif

En effet, le sceptique suppose, comme le fait remarquer Aristote, que toute connaissance repose sur une démonstration et c'est cela qui conduit à des impasses.

Le recours à l’idée d’un mode de connaissance directe — ce qu’on appelle l’intuition intellectuelle (la saisie directe par l’esprit de la vérité d’une proposition) — permet d'échaper à la difficulté. Certaines propositions seraient évidentes, i.e. leur vérité se manifesterait d’elle-même. (Pour Pascal il s'agirait d'une « connaissance par le cœur » ≠ connaissance par la raison)

L'idée d'une intuition intellectuelle est chère aux rationalistes classiques (Descartes, Leibniz…) qui pensent que la raison est une faculté mais aussi un ensemble de « notions communes », vérités abstraites saisies directement par intuition intellectuelle, sur lesquelles peut se bâtir l’édifice de la connaissance.

L'intuition ou évidence intellectuelle serait

Médiat/Immédiat ; Intuitif/Discursif

Exemple: en mathématiques, un axiome au sens classique (en géométrie) est une proposition vraie de manière évidente, qui sert de principe, i.e. de point de départ à l’édifice mathématique.

Critique de la notion d’intuition :

Exemple 1: que vaut la distinction antique entre axiome et postulat?

Le 5e postulat d'Euclide (les autres sont des postulats de construction) s'énonce ainsi:

« Par un point situé en-dehors d’une droite donnée dans un plan, on ne peut tracer qu’une parallèle à cette droite dans ce plan. »

Cette proposition n'est pas tenue pour évidente. Elle ressemble à un théorème, mais les recherches pour le démontrer échouent. D'où l'idée d'en faire une démonstration par l’absurde : nier ce qui est à démontrer; en dériver une contradiction; ce qui prouverait la fausseté de la négation, et donc, indirectement, la vérité de ce qui était à démontrer. (S'il est faux que le 5e postulat est faux, alors, le 5e postulat est vrai.)

Mais la négation du 5e postulat, loin d'aboutir à une contradiction, permet de dériver de nouvelles géométries différentes, non-euclidiennes. C'est ce qu'ont fait notamment Riemann et Lobatchevski au XIXe :

  5e postulat Exemple de théorème dérivable

Euclide

une seule parallèle

Somme des angles du triangle = π

Lobatchevski

une infinité de parallèles

Somme des angles du triangle= < π

Riemann

aucune parallèle

Somme des angles du triangle = > π

Il n'y a aucune raison de choisir l'un ou l'autre de ces postulats. Le choix est arbitraire. Cette proposition est admise conventionnellement. Ces géométries cohérentes, qui ne correspondent pas directement à notre expérience sensible (notre espace perceptif est euclidien) remettent aussi en question la notion d’intuition intellectuelle. En effet, La distinction entre axiome et postulat disparaît: toutes les propositions premières des mathématiques, comme le 5e postulat, peuvent être considérées comme de simples conventions.

Exemple 2 : l'axiome « Le tout est plus grand que la partie » qui semble intuitivement vraie ne l'est pas toujours

Dans le cas des ensembles infinis, cette proposition est fausse : dans un ensemble infini, on peut établir une bijection de chaque élément de l’ensemble avec un élément d’un sous-ensemble : ex. entre les nombres entiers naturels et les nombres entiers pairs. Ainsi, « La partie est aussi grande que le tout » est un élément de définition des ensemble infinis.

La notion d’intuition intellectuelle paraît donc suspecte.

Les mathématiques comme systèmes formels déductifs (appellés aussi "axiomatiques") sont un ensemble systématique de propositions liées par démonstration qui reposent sur des axiomes (au sens moderne du terme), c'est-à-dire des propositions premières, ni vraies, ni fausses, admises conventionnellement. La vérité mathématique se ramène à la cohérence formelle : la proposition "la somme des angles intérieurs du triangle = π" est "vraie" si et seulement si elle est logiquement dérivable des axiomes du système déductif dans lequel nous avons choisi de nous situer. Seule compte la validité du raisonnement. La question de savoir si "vraiment" la somme des angles est égale, inférieure ou supérieur à π ne se pose pas, puisque cela dépend du système considéré (celui d'Euclide, de Reimann ou de Lobatchevski).

Il reste à se demander comment il se fait que les mathématiques s’appliquent au monde sensible et permettent de tirer des conclusions a priori (c'est-à-dire indépendantes de l'expérience) qui trouvent un sens empiriquement. A cette question, Einstein répond "Pour autant que les propositions de la mathématique se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines, et pour autant qu'elles sont certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité."

Distinction empiriste entre deux types de vérités : les vérités de fait ne sont pas démontrables

Hume (XVIIIe) fait une distinction entre de deux genres de connaissance:

Les relations de cause à effet ne sont pas purement logiques : elles ne peuvent être connues indépendamment de l’expérience, i.e. de la connaissance du monde que nous tirons de notre perception (connaissance du particulier).

Supposons Adam dénué de toute expérience mais capable de raisonnement : si une boule de billard vient en choquer une autre, il ne peut prévoir ce qui va se passer (une boule repart en arrière? les deux s’immobilisent? etc.) ; seule l’expérience permet de savoir ce qui se passe, et donc d’anticiper le mouvement des boules.

= Critique empiriste (de empeiria, l’expérience) de l’idéal démonstratif rationaliste. L’empirisme est la thèse que notre connaissance de la nature et de son fonctionnement dérive de l’expérience.

C’est à partir de l’expérience que nous pouvons connaître les lois de la nature et sortir de la régression à l'infini ou du cercle vicieux de l'idéal démonstratif des rationalistes.

Conclusion

L’exigence de démonstration est une exigence rationnelle de preuve, de justification. Elle est interne à la notion de connaissance qui est une notion normative.

Mais toute connaissance ne saurait dépendre d’une démonstration : la démonstration ne peut que montrer la cohérence formelle d’une proposition avec d’autres, la vérité de ce qui est démontré dépend de la vérité des prémisses.

Par ailleurs, toutes les vérités ne semblent pas relever de la démonstration et du raisonnement déductif, comme le soulignent les empiristes.

Mais quel rôle joue l’expérience dans l’élaboration de nos connaissances sur la nature ?



Rémi Clot-Goudard
Maryvonne Longeart
LOG | Accueil | Programmes | Banque de textes


Cours du LOG